Seja
uma função definida num intervalo
. Uma primitiva de
em
é uma função
definida em
tal que
para todo
em I. Por exemplo, a função
é uma primitiva de
. Note também que qualquer função da forma
, onde
representa uma constante, também é uma primitiva para
. A seguir, encontre primitivas para as seguintes funções:
, onde
é um número real.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar uma primitiva de f(x)=x^r num intervalo I, usando que r≠−1. O conteúdo é a regra de potência para integração (inverso da derivação).
Passo 2
Sabemos pela derivação que, para g(x)=x^n com n≠0, vale g’(x)=n·x^{n−1}. Para achar a primitiva de x^r, vamos inverter essa regra.
Suponha que F(x)= para alguma constante a. Derivando, obtemos F’(x)=
·x^r. Para que F’(x)=x^r é preciso que
, ou seja, a=r+1.
Suponha que F(x)=
Passo 3
Logo, uma primitiva geral de f(x)=x^r é