Seja f uma função definida num intervalo I. Uma primitiva de f em I é uma função F(x) definida em I tal que F^prime(x)=f(x) para todo x em I. Por exemplo, a função F(x)=13 x^3 é uma primitiva de f(x)=x^2. Note também que qualquer função da forma F(x)=13 x^3+C, onde C representa uma constante, também é uma primitiva para f(x)=x^2. A seguir, encontre primitivas para as seguintes funções:
f(x)=x^r, onde r neq-1 é um número real.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar uma primitiva de f(x)=x^r num intervalo I, usando que r≠−1. O conteúdo é a regra de potência para integração (inverso da derivação).

Passo 2

Sabemos pela derivação que, para g(x)=x^n com n≠0, vale g’(x)=n·x^{n−1}. Para achar a primitiva de x^r, vamos inverter essa regra.
Suponha que F(x)= tfracx^r+1a para alguma constante a. Derivando, obtemos F’(x)= tfracr+1a·x^r. Para que F’(x)=x^r é preciso que tfracr+1a=1, ou seja, a=r+1.

Passo 3

Logo, uma primitiva geral de f(x)=x^r é
F(x)=x^r+1r+1+C

Resposta

F(x)=x^r+1r+1+C

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