Classifique os pontos críticos de: z=e^1+x^2+y^2

Passo 1

O exercício pede pra gente encontrar e classificar os pontos críticos da função z = e^1 + x^2 + y^2. É conteúdo de funções de várias variáveis e vamos precisar calcular derivadas parciais, achar os pontos críticos e usar o teste da segunda derivada (Hessiano).

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais
zx = partialpartial xe^1 + x^2 + y^2 = 2x,e^1 + x^2 + y^2
zy = 2y,e^1 + x^2 + y^2

Passo 3

Achamos os pontos críticos resolvendo zx = 0 e zy = 0. Como e^1 + x^2 + y^2 nunca zera, precisamos de 2x = 0 e 2y = 0, ou seja, x = 0 e y = 0. Logo, o único ponto crítico é (0,0).

Passo 4

Para classificar o ponto, montamos o Hessiano calculando as segundas derivadas:
zxx = partialpartial x(2x,e^1 + x^2 + y^2) = 2,e^1 + x^2 + y^2(1 + 2x^2)
zyy = 2,e^1 + x^2 + y^2(1 + 2y^2)
zxy = partialpartial y(2x,e^1 + x^2 + y^2) = 4xy,e^1 + x^2 + y^2

Passo 5

Avaliamos no ponto (0,0):
zxx(0,0) = 2e, zyy(0,0) = 2e, zxy(0,0) = 0
O determinante do Hessiano é
D = zxxzyy - zxy^2 = (2e)(2e) - 0 = 4e^2 > 0
Como D > 0 e zxx(0,0) = 2e > 0, o ponto é de mínimo local.

Resposta

O único ponto crítico é (0,0) e é um ponto de mínimo local (e global).

Exercícios relacionados