Determine se a origem é ponto de mínimo, de máximo ou sela de:
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Passo 1
O enunciado pede pra gente classificar o ponto crítico na origem da função z = -x² + 2xy - y²; o assunto é estudo de pontos críticos usando gradiente, Hessiana e análise de forma quadrática.
Passo 2
Calculo o gradiente: temos ∂z/∂x = -2x + 2y e ∂z/∂y = 2x - 2y. Pra ponto crítico, ∂z/∂x = 0 e ∂z/∂y = 0, o que dá -2x + 2y = 0 e 2x - 2y = 0, ou seja x = y. A origem (0,0) é um desses pontos críticos.
Passo 3
Monte a matriz Hessiana pra ver se dá pra usar o teste padrão:
A derivada segunda em relação a x é ∂²z/∂x² = -2, a mista ∂²z/∂x∂y = 2 e ∂²z/∂y² = -2. Logo a Hessiana é H = [ [-2, 2], [2, -2] ] e seu determinante é (-2)(-2) - 2·2 = 4 - 4 = 0. Como det(H) = 0, o teste de segunda derivada fica inconclusivo.
A derivada segunda em relação a x é ∂²z/∂x² = -2, a mista ∂²z/∂x∂y = 2 e ∂²z/∂y² = -2. Logo a Hessiana é H = [ [-2, 2], [2, -2] ] e seu determinante é (-2)(-2) - 2·2 = 4 - 4 = 0. Como det(H) = 0, o teste de segunda derivada fica inconclusivo.
Passo 4
Pra desempatar, reescrevo a função como forma quadrática:
Passo 5
Isso mostra que (x - y)² ≥ 0 para todo (x,y), logo z ≤ 0 e z = 0 exatamente quando x = y. Assim, em qualquer vizinhança da origem z nunca ultrapassa 0, e z(0,0)=0 é o maior valor que ela atinge localmente.
Passo 6
Portanto a origem é um ponto de máximo local, mas degenerado, pois ao longo da reta x = y a função fica constante.
Resposta
A origem é um ponto de máximo local degenerado (não estrito).