Classifique os pontos críticos de: z=1+x^2+y^2.

Passo 1

A função é z = 1 + x^2 + y^2. O conteúdo é cálculo de pontos críticos em funções de duas variáveis, usando derivadas parciais e a matriz Hessiana para classificar o tipo de cada ponto.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais: partial zpartial x = 2x e partial zpartial y = 2y. Igualando a zero, temos o sistema 2x = 0, 2y = 0, cujo único solução é (x,y) = (0,0).

Passo 3

Montamos a matriz Hessiana:
H = partial^2 zpartial x^2 & partial^2 zpartial xpartial y partial^2 zpartial ypartial x & partial^2 zpartial y^2 = 2 & 0 0 & 2
Os autovalores de H são 2 e 2, ambos positivos, portanto H é definida positiva e o ponto crítico é um mínimo estrito (e como a função é convexa, também global).

Resposta

O único ponto crítico é (0,0), onde existe um mínimo estrito (e global).

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