Confirme que
é uma função potencial de
em alguma região e determine a região.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos confirmar se a função é uma função potencial para o campo vetorial
dado. Isso envolve o estudo de campos vetoriais e funções potenciais, que são conceitos de cálculo vetorial. Para resolver isso, vamos comparar o campo vetorial
com o gradiente da função
.
Passo 2
Uma função
é potencial para um campo vetorial
se
for igual ao gradiente de
, ou seja:
O gradiente
é dado por:
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais de
:
Passo 4
Agora, vamos montar o gradiente de
com essas derivadas:
Comparando isso com o campo vetorial
dado:
Observamos que os componentes
e
do gradiente de
coincidem com
, mas o componente
não. Isso significa que
não é exatamente igual ao gradiente de
em toda a região.
Passo 5
Para que
seja uma função potencial para
, precisamos que todos os componentes correspondam. No componente
, temos uma diferença de
. Isso indica que
só será igual ao gradiente de
se
.
Passo 6
A condição
é satisfeita quando ou
ou
. Portanto, a região onde
é uma função potencial para
é onde:
Resposta
A função é uma função potencial para o campo vetorial
na região onde
ou
com
inteiro.