Confirme que phi é uma função potencial de F(r) em alguma região e determine a região.
phi(x, y, z)= & x sen z+y sen x F(x, y, z)=(sen z+y cos x) i & +(sen x+z cos y) j & +(sen y+x cos z) k

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos confirmar se a função é uma função potencial para o campo vetorial dado. Isso envolve o estudo de campos vetoriais e funções potenciais, que são conceitos de cálculo vetorial. Para resolver isso, vamos comparar o campo vetorial com o gradiente da função .

Passo 2

Uma função F = nabla phi é potencial para um campo vetorial nabla phi = ( partial phipartial x ) i + ( partial phipartial y ) j + ( partial phipartial z ) k se for igual ao gradiente de , ou seja:
O gradiente é dado por:

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais de partial phipartial x = partialpartial x (x sen z + y sen x) = sen z + y cos x :

Passo 4

Agora, vamos montar o gradiente de nabla phi = (sen z + y cos x) i + (sen x) j + (x cos z) k com essas derivadas:
Comparando isso com o campo vetorial F = (sen z + y cos x) i + (sen x + z cos y) j + (sen y + x cos z) k dado:
Observamos que os componentes e do gradiente de coincidem com , mas o componente não. Isso significa que não é exatamente igual ao gradiente de em toda a região.

Passo 5

Para que seja uma função potencial para , precisamos que todos os componentes correspondam. No componente , temos uma diferença de . Isso indica que só será igual ao gradiente de se .

Passo 6

A condição z = 0 ou y = pi2 + kpi, k in Z é satisfeita quando ou ou . Portanto, a região onde é uma função potencial para é onde:

Resposta

A função é uma função potencial para o campo vetorial na região onde ou com inteiro.

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