Determine os pontos extremos de: z=x y tais que x^2+y^2+x y=4

Passo 1

A questão pede para encontrar os extremos (máximos e mínimos) da função z = x y sujeita à restrição x^2 + y^2 + x y = 4. O conteúdo envolvido é otimização com multiplicadores de Lagrange, em que vamos usar as condições nabla f = lambda , nabla g.

Passo 2

Definimos a função objetivo f(x,y)=x y e a restrição g(x,y)=x^2 + y^2 + x y - 4 = 0. O método de Lagrange exige nabla f = lambda , nabla g. Calculamos os gradientes:
  • nabla f = (y,,x)
  • nabla g = (2x + y,,2y + x)
Logo, as equações de Lagrange são
y = lambda,(2x + y)
x = lambda,(2y + x)
e ainda a restrição
x^2 + y^2 + x y = 4

Passo 3

Das duas primeiras equações, eliminamos lambda por
y2x + y = x2y + x implies y^2 = x^2 implies y = x ou y = -x
Caso y = x:
3x^2 = 4 implies x = pm 2raiz3, y = x,
e
z = x y = x^2 = 43
Caso y = -x:
2x^2 - x^2 = 4 implies x^2 = 4 implies x = pm 2, y = -x,
e
z = x y = -x^2 = -4

Passo 4

Comparando os valores obtidos de z, o maior valor é 4/3 nos pontos l(tfrac2raiz3,tfrac2raiz3r) e l(-tfrac2raiz3,-tfrac2raiz3r); o menor valor é -4 nos pontos (2,-2) e (-2,2).

Resposta

Pontos de máximo: l(tfrac2raiz3,tfrac2raiz3r) e l(-tfrac2raiz3,-tfrac2raiz3r) com z=4/3.
Pontos de mínimo: (2,-2) e (-2,2) com z=-4.

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