Classifique os pontos críticos de: z=x^2+y^3.

Passo 1

Resumindo o enunciado, queremos encontrar e classificar os pontos críticos da função z = x^2 + y^3. Precisaremos usar derivadas parciais para achar esses pontos e depois o teste das segundas derivadas para classificá-los.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais:
partial zpartial x = 2x e partial zpartial y = 3y^2.
Igualando-as a zero, obtemos 2x = 0 implies x = 0 e 3y^2 = 0 implies y = 0. Logo, o único ponto crítico é (0,0).

Passo 3

Para classificar, encontramos as segundas derivadas:
partial^2 zpartial x^2 = 2,
partial^2 zpartial x partial y = 0,
partial^2 zpartial y^2 = 6y.
O Hessiano é
No ponto H = 2 & 0 n0 & 6y temos (0,0), então o teste das segundas derivadas é inconclusivo.

Passo 4

Analisamos o comportamento de z em direções específicas: em x = 0 temos z(0,y) = y^3, que é negativa para y<0 e positiva para y>0; em y = 0 temos z(x,0) = x^2 >= 0. Como surgem valores positivos e negativos arbitrariamente próximos de (0,0), o ponto crítico é um ponto de sela.

Resposta

O único ponto crítico é (0,0), e ele é um ponto de sela.

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