Classifique os pontos críticos de:
.
Passo 1
Resumindo o enunciado, queremos encontrar e classificar os pontos críticos da função
. Precisaremos usar derivadas parciais para achar esses pontos e depois o teste das segundas derivadas para classificá-los.
Passo 2
Calculamos as derivadas parciais:
Igualando-as a zero, obtemos
e
. Logo, o único ponto crítico é
.
Passo 3
Para classificar, encontramos as segundas derivadas:
O Hessiano é
No ponto
temos
, então o teste das segundas derivadas é inconclusivo.
Passo 4
Analisamos o comportamento de
em direções específicas: em
temos
, que é negativa para
e positiva para
; em
temos
. Como surgem valores positivos e negativos arbitrariamente próximos de
, o ponto crítico é um ponto de sela.
Resposta
O único ponto crítico é
, e ele é um ponto de sela.