Determine os pontos extremos de: z=4 x^2+2 y^2+5 tais que x^2+y^2-2 y=0.

Passo 1

A questão pede pra encontrar os pontos extremos da função f(x,y)=4x^2+2y^2+5 sujeitos à restrição x^2+y^2-2y=0. O conteúdo principal é otimização com restrição, e vamos usar multiplicadores de Lagrange juntamente com o reconhecimento de que x^2+y^2-2y=0 é a circunferência de raio 1 centrada em (0,1).

Passo 2

Definimos a função de restrição g(x,y)=x^2+y^2-2y e montamos o Lagrangeano
L(x,y,lambda)=4x^2+2y^2+5-lambda,(x^2+y^2-2y)

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais e igualamos a zero:
partialLpartial x=8x-2lambda x=0,
partialLpartial y=4y-lambda(2y-2)=0,
partialLpartiallambda=-(x^2+y^2-2y)=0

Passo 4

Da primeira equação 8x-2lambda x=0 vem ou x=0 ou lambda=4. No caso lambda=4, a segunda equação dá
4y-4(2y-2)=0implies4y-8y+8=0implies y=2
Substituindo na restrição obtemos x^2+4-4=0 logo x=0. Assim surge o ponto (0,2).

Passo 5

No caso x=0, a restrição 0+y^2-2y=0 leva a y(y-2)=0, ou seja y=0 ou y=2. O ponto (0,2) já foi obtido, e o novo é (0,0).

Passo 6

Agora avaliamos f nesses pontos:
Para (0,0):
f(0,0)=4cdot0^2+2cdot0^2+5=5
Para (0,2):
f(0,2)=4cdot0^2+2cdot2^2+5=8+5=13

Passo 7

Como a restrição define uma curva fechada e f é contínua, estes são os extremos:
(0,0) é mínimo com z=5 e (0,2) é máximo com z=13.

Resposta

Mínimo em (0,0) com z=5; Máximo em (0,2) com z=13.

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