Determine os pontos extremos de:
tais que
.
Passo 1
A questão pede pra encontrar os pontos extremos da função
sujeitos à restrição
. O conteúdo principal é otimização com restrição, e vamos usar multiplicadores de Lagrange juntamente com o reconhecimento de que
é a circunferência de raio 1 centrada em
.
Passo 2
Definimos a função de restrição
e montamos o Lagrangeano
Passo 3
Calculamos as derivadas parciais e igualamos a zero:
Passo 4
Da primeira equação
vem ou
ou
. No caso
, a segunda equação dá
Substituindo na restrição obtemos
logo
. Assim surge o ponto
.
Passo 5
No caso
, a restrição
leva a
, ou seja
ou
. O ponto
já foi obtido, e o novo é
.
Passo 6
Agora avaliamos
nesses pontos:
Para :
Para
Para
:
Passo 7
Como a restrição define uma curva fechada e
é contínua, estes são os extremos:
é mínimo com
e
é máximo com
.
Resposta
Mínimo em (0,0) com z=5; Máximo em (0,2) com z=13.