(20 pontos) Considere a função
f(x, y)= x^3x^2+y^2 & se (x, y) neq(0,0) L & se (x, y)=(0,0)
© (1 ponto) Determine o valor de L (note que L=f(0,0) ) para que f seja contínua em (0,0).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função que muda de expressão dependendo de onde você está no plano. A questão aqui é descobrir o valor de que faz com que a função seja contínua no ponto . Para isso, vamos precisar entender o que significa continuidade e como calcular limites de funções de duas variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma função é contínua em um ponto se o limite da função quando você se aproxima desse ponto for igual ao valor da função nesse ponto. Aqui, queremos que lim(x, y) to (0,0) f(x, y) = f(0,0) = L seja contínua em , então precisamos que:
Ou seja, o limite da função quando se aproxima de deve ser igual a .

Passo 3

Vamos calcular esse limite. A função para f(x, y) = x^3x^2 + y^2 é:
Uma maneira eficiente de calcular limites de funções de duas variáveis é mudar para coordenadas polares, onde e . Aqui, é a distância do ponto até a origem, e é o ângulo.

Passo 4

Substituindo f(r, theta) = (r costheta)^3(r costheta)^2 + (r sintheta)^2 = r^3 cos^3thetar^2 (cos^2theta + sin^2theta) e f(r, theta) = r^3 cos^3thetar^2 = r cos^3theta por e na função, temos:
Sabemos que , então a expressão simplifica para:

Passo 5

Agora, vamos analisar o limite quando limr to 0 r cos^3theta = 0 times cos^3theta = 0 tende a 0:
Isso significa que, independentemente do ângulo , o limite é 0.

Passo 6

Como o limite da função L = 0 quando se aproxima de é 0, para a função ser contínua nesse ponto, devemos ter:

Resposta

O valor de para que seja contínua em é .

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