(20 pontos) Considere a função
© (1 ponto) Determine o valor de
(note que
) para que
seja contínua em
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função
que muda de expressão dependendo de onde você está no plano. A questão aqui é descobrir o valor de
que faz com que a função seja contínua no ponto
. Para isso, vamos precisar entender o que significa continuidade e como calcular limites de funções de duas variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma função é contínua em um ponto se o limite da função quando você se aproxima desse ponto for igual ao valor da função nesse ponto. Aqui, queremos que
seja contínua em
, então precisamos que:
Ou seja, o limite da função quando
se aproxima de
deve ser igual a
.
Passo 3
Vamos calcular esse limite. A função para
é:
Uma maneira eficiente de calcular limites de funções de duas variáveis é mudar para coordenadas polares, onde
e
. Aqui,
é a distância do ponto
até a origem, e
é o ângulo.
Passo 4
Substituindo
e
por
e
na função, temos:
Sabemos que
, então a expressão simplifica para:
Passo 5
Agora, vamos analisar o limite quando
tende a 0:
Isso significa que, independentemente do ângulo
, o limite é 0.
Passo 6
Como o limite da função
quando
se aproxima de
é 0, para a função ser contínua nesse ponto, devemos ter:
Resposta
O valor de
para que
seja contínua em
é
.