Classifique os pontos críticos de:
.
Passo 1
O problema pede para a gente achar e classificar os pontos críticos da função de duas variáveis
. O conteúdo envolvido é cálculo multivariável: vamos precisar calcular o gradiente (derivadas parciais), achar onde ele é zero e aplicar o teste da segunda derivada (Hessiano) para ver se cada ponto é mínimo, máximo ou sela.
Passo 2
Primeiro, calculamos as derivadas parciais de
:
Essas expressões vêm de aplicar a regra do produto na forma
.
Passo 3
Agora, igualamos as derivadas a zero para achar os pontos críticos:
Isso gera as condições
- ou
ou , - ou
ou .
Analisando as combinações válidas, obtemos dois casos:
-
e → ponto . -
e → pontos .
Passo 4
Em seguida, calculamos as segundas derivadas para montar o Hessiano:
O determinante do Hessiano é
Passo 5
Agora avaliamos em cada ponto crítico:
- Em
:
e → máximo local. - Em
:
dá , e → ponto de sela.
Passo 6
Portanto, classificamos cada ponto crítico de acordo com o sinal de
e
.
Resposta
Pontos críticos e classificação:
(0,0) → máximo local
(1,2), (1,−2), (−1,2), (−1,−2) → pontos de sela
(0,0) → máximo local
(1,2), (1,−2), (−1,2), (−1,−2) → pontos de sela