Classifique os pontos críticos de: z=(x^2-1)(y^2-4).

Passo 1

O problema pede para a gente achar e classificar os pontos críticos da função de duas variáveis z = (x^2 - 1)(y^2 - 4). O conteúdo envolvido é cálculo multivariável: vamos precisar calcular o gradiente (derivadas parciais), achar onde ele é zero e aplicar o teste da segunda derivada (Hessiano) para ver se cada ponto é mínimo, máximo ou sela.

Passo 2

Primeiro, calculamos as derivadas parciais de z:
partial zpartial x = 2x,(y^2 - 4),
partial zpartial y = 2y,(x^2 - 1)
Essas expressões vêm de aplicar a regra do produto na forma (x^2-1)(y^2-4).

Passo 3

Agora, igualamos as derivadas a zero para achar os pontos críticos:
2x,(y^2 - 4) = 0, 2y,(x^2 - 1) = 0
Isso gera as condições
  • ou x=0 ou y^2=4,
  • ou y=0 ou x^2=1.
    Analisando as combinações válidas, obtemos dois casos:
  1. x=0 e y=0 → ponto (0,0).
  2. y^2=4 e x^2=1 → pontos (pm1,pm2).

Passo 4

Em seguida, calculamos as segundas derivadas para montar o Hessiano:
partial^2 zpartial x^2 = 2(y^2 - 4),
partial^2 zpartial y^2 = 2(x^2 - 1),
partial^2 zpartial xpartial y = 4xy
O determinante do Hessiano é
D = zxx,zyy - (zxy)^2 = 4l((y^2 -4)(x^2 -1) - 4x^2y^2r)

Passo 5

Agora avaliamos em cada ponto crítico:
  • Em (0,0):
    zxx = 2(0-4) = -8 < 0 e D = 16 > 0 → máximo local.
  • Em (pm1,pm2):
    x^2=1,y^2=4 zxx=0, zyy=0 e D = -64 < 0 → ponto de sela.

Passo 6

Portanto, classificamos cada ponto crítico de acordo com o sinal de D e zxx.

Resposta

Pontos críticos e classificação:
(0,0) → máximo local
(1,2), (1,−2), (−1,2), (−1,−2) → pontos de sela

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