Sejam k uma constante e F=F(x, y, z), G=G(x, y, z) e phi=phi(x, y, z). Prove as seguintes identidades, supondo que todas as derivadas envolvidas existam e sejam contínuas.
rot(phi F)=phi rot F+nabla phi times F

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que o exercício está pedindo. A gente tem três funções: uma constante , duas vetoriais e , e uma escalar . A tarefa é provar uma identidade envolvendo o rotacional (ou “rot”) de .
O conteúdo aqui é de cálculo vetorial, mais especificamente operações como rotacional, gradiente e produto vetorial. Para resolver isso, vamos precisar conhecer as definições dessas operações e como elas interagem quando a gente tem produtos entre funções escalares e vetoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o rotacional de um campo vetorial. O rotacional, rot F = nabla times F = ( partial Fzpartial y - partial Fypartial z ) i + ( partial Fxpartial z - partial Fzpartial x ) j + ( partial Fypartial x - partial Fxpartial y ) k , mede a tendência de rotação do campo vetorial em cada ponto do espaço. Matemáticamente, em coordenadas cartesianas, ele é dado por:
Agora, queremos calcular , ou seja, o rotacional do produto de uma função escalar com um vetor .

Passo 3

Para achar rot(phi F) = phi rot F + nabla phi times F , vamos usar uma regra importante do cálculo vetorial que nos diz como o rotacional interage com o produto de uma função escalar e um vetor. Essa regra é conhecida como a identidade do rotacional de um produto escalar por um vetor, e ela diz:
Mas, para entender por que isso é verdade, vamos derivar essa identidade passo a passo.

Passo 4

Começamos escrevendo phi F = phi Fx i + phi Fy j + phi Fz k como um novo vetor:
rot(phi F) = nabla times (phi F) = ( partial (phi Fz)partial y - partial (phi Fy)partial z ) i + ( partial (phi Fx)partial z - partial (phi Fz)partial x ) j + ( partial (phi Fy)partial x - partial (phi Fx)partial y ) k
Agora, vamos calcular o rotacional desse vetor usando a definição:

Passo 5

Vamos agora aplicar a regra do produto nas derivadas parciais. Por exemplo, para o primeiro componente:
partial (phi Fz)partial y = phi partial Fzpartial y + Fz partial phipartial y
partial (phi Fy)partial z = phi partial Fypartial z + Fy partial phipartial z
Fazendo isso para todos os componentes, a expressão fica:
rot(phi F) = ( phi partial Fzpartial y + Fz partial phipartial y - phi partial Fypartial z - Fy partial phipartial z ) i + ( phi partial Fxpartial z + Fx partial phipartial z - phi partial Fzpartial x - Fz partial phipartial x ) j + ( phi partial Fypartial x + Fy partial phipartial x - phi partial Fxpartial y - Fx partial phipartial y ) k

Passo 6

Agora, vamos reorganizar os termos para separar aqueles que têm phi ( partial Fzpartial y - partial Fypartial z ) i + phi ( partial Fxpartial z - partial Fzpartial x ) j + phi ( partial Fypartial x - partial Fxpartial y ) k = phi rot F multiplicando o rotacional de Fz partial phipartial y - Fy partial phipartial z i + Fx partial phipartial z - Fz partial phipartial x j + Fy partial phipartial x - Fx partial phipartial y k = nabla phi times F e os que envolvem o gradiente de rot(phi F) = phi rot F + nabla phi times F cruzado com .
Agrupando os termos com :
E os demais termos formam:
Portanto, juntando tudo:

Resposta

Assim, demonstramos que:
rot(phi F) = phi rot F + nabla phi times F

Exercícios relacionados