Sejam
uma constante e
e
. Prove as seguintes identidades, supondo que todas as derivadas envolvidas existam e sejam contínuas.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que o exercício está pedindo. A gente tem três funções: uma constante
, duas vetoriais
e
, e uma escalar
. A tarefa é provar uma identidade envolvendo o rotacional (ou “rot”) de
.
O conteúdo aqui é de cálculo vetorial, mais especificamente operações como rotacional, gradiente e produto vetorial. Para resolver isso, vamos precisar conhecer as definições dessas operações e como elas interagem quando a gente tem produtos entre funções escalares e vetoriais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o rotacional de um campo vetorial. O rotacional,
, mede a tendência de rotação do campo vetorial
em cada ponto do espaço. Matemáticamente, em coordenadas cartesianas, ele é dado por:
Agora, queremos calcular
, ou seja, o rotacional do produto de uma função escalar
com um vetor
.
Passo 3
Para achar
, vamos usar uma regra importante do cálculo vetorial que nos diz como o rotacional interage com o produto de uma função escalar e um vetor. Essa regra é conhecida como a identidade do rotacional de um produto escalar por um vetor, e ela diz:
Mas, para entender por que isso é verdade, vamos derivar essa identidade passo a passo.
Passo 4
Começamos escrevendo
como um novo vetor:
Agora, vamos calcular o rotacional desse vetor usando a definição:
Passo 5
Vamos agora aplicar a regra do produto nas derivadas parciais. Por exemplo, para o primeiro componente:
Fazendo isso para todos os componentes, a expressão fica:
Passo 6
Agora, vamos reorganizar os termos para separar aqueles que têm
multiplicando o rotacional de
e os que envolvem o gradiente de
cruzado com
.
Agrupando os termos com
:
E os demais termos formam:
Portanto, juntando tudo:
Resposta
Assim, demonstramos que: