Classifique os pontos críticos de: z=x-y^2-x^3.

Passo 1

A função em questão é f(x,y)=x−y²−x³. Vamos precisar usar derivadas parciais para achar os pontos em que o gradiente é zero (pontos críticos) e depois usar a matriz Hessiana para classificar cada ponto.

Passo 2

Calcule as derivadas parciais e encontre os pontos críticos. Temos
partial fpartial x=1-3x^2, partial fpartial y=-2y
Para ponto crítico, igualamos a zero: 1−3x²=0 ⇒ x²=1/3 ⇒ x=±1/\sqrt{3}, e −2y=0 ⇒ y=0. Logo, os pontos críticos são (1/\sqrt{3},0) e (−1/\sqrt{3},0).

Passo 3

Forme a matriz Hessiana de f, que reúne as segundas derivadas parciais:
Hf(x,y)=fxx&fxyfyx&fyy =-6x&00&-2

Passo 4

Avalie a Hessiana em cada ponto e calcule o determinante D=f_{xx}f_{yy}−(f_{xy})².
Para (1/\sqrt{3},0):
fxx=-6l(1/raiz3r)=-2raiz3, fyy=-2, D=(-2raiz3)(-2)=4raiz3>0
Como D>0 e f_{xx}<0, esse ponto é um máximo local.
Para (−1/\sqrt{3},0):
fxx=-6l(-1/raiz3r)=2raiz3, fyy=-2, D=(2raiz3)(-2)=-4raiz3<0
Como D<0, esse ponto é um ponto de sela.

Passo 5

Usando o critério da Hessiana: quando D>0 e f_{xx}<0 temos máximo local; quando D<0 temos sela; e como não apareceu D>0 e f_{xx}>0, não há mínimo local.

Passo 6

Finalizando: (1/\sqrt{3},0) é máximo local; (−1/\sqrt{3},0) é ponto de sela.

Resposta

Os pontos críticos são (1/\sqrt{3},0), que é máximo local, e (−1/\sqrt{3},0), que é ponto de sela.

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