Determine se a origem é ponto de mínimo, de máximo ou sela de:
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Passo 1
O enunciado pede para classificar o ponto crítico na origem da função z = x³ + y³. O conteúdo é classificação de pontos críticos em funções de duas variáveis: vamos precisar das derivadas parciais, do teste da Hessiana e, se necessário, de argumentação direta para ver se é mínimo, máximo ou sela.
Passo 2
Calcular as derivadas parciais e achar o ponto crítico: f_x = ∂/∂x(x³+y³) = 3x², f_y = ∂/∂y(x³+y³) = 3y². Igualando a zero: 3x²=0 ⇒ x=0 e 3y²=0 ⇒ y=0. Logo o único ponto crítico é (0,0).
Passo 3
Construir a matriz Hessiana e testar:
Montamos a Hessiana
Montamos a Hessiana
Avaliando em (0,0):
Passo 4
Como a Hessiana é degenerada em (0,0), o teste de segunda derivada não decide.
Passo 5
Analisar o sinal de f em torno da origem: em y=0 temos f(x,0)=x³, que é positivo para x>0 e negativo para x<0; em x=0 temos f(0,y)=y³, que faz o mesmo. Assim em qualquer vizinhança temos valores de f maiores e menores que f(0,0)=0.
Passo 6
Pela definição, se em qualquer vizinhança do ponto f assume valores acima e abaixo do valor no ponto, ele é ponto de sela.
Resposta
A origem é um ponto de sela.