Determine se a origem é ponto de mínimo, de máximo ou sela de: z=x^3+y^3.

Passo 1

O enunciado pede para classificar o ponto crítico na origem da função z = x³ + y³. O conteúdo é classificação de pontos críticos em funções de duas variáveis: vamos precisar das derivadas parciais, do teste da Hessiana e, se necessário, de argumentação direta para ver se é mínimo, máximo ou sela.

Passo 2

Calcular as derivadas parciais e achar o ponto crítico: f_x = ∂/∂x(x³+y³) = 3x², f_y = ∂/∂y(x³+y³) = 3y². Igualando a zero: 3x²=0 ⇒ x=0 e 3y²=0 ⇒ y=0. Logo o único ponto crítico é (0,0).

Passo 3

Construir a matriz Hessiana e testar:
Montamos a Hessiana
H(x,y)=fxx&fxyfyx&fyy=6x&00&6y
Avaliando em (0,0):
H(0,0)=0&00&0,det H(0,0)=0

Passo 4

Como a Hessiana é degenerada em (0,0), o teste de segunda derivada não decide.

Passo 5

Analisar o sinal de f em torno da origem: em y=0 temos f(x,0)=x³, que é positivo para x>0 e negativo para x<0; em x=0 temos f(0,y)=y³, que faz o mesmo. Assim em qualquer vizinhança temos valores de f maiores e menores que f(0,0)=0.

Passo 6

Pela definição, se em qualquer vizinhança do ponto f assume valores acima e abaixo do valor no ponto, ele é ponto de sela.

Resposta

A origem é um ponto de sela.

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