Seja f(x, y)=x^2 y.
A taxa de variação encontrada no item anterior é a máxima possível para f? Justifique sua resposta.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para saber se a taxa de variação que encontramos anteriormente para a função é a máxima possível. Vamos precisar usar conceitos de cálculo multivariável, especialmente o da derivada direcional e do gradiente. Então, vamos entender o que é a taxa de variação máxima e como ela se relaciona com o gradiente da função.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a taxa de variação de uma função em uma direção específica. Para uma função de duas variáveis, a taxa de variação na direção de um vetor unitário Du f(x, y) = nabla f(x, y) cdot u é dada pela derivada direcional:
Aqui, é o gradiente da função e o ponto de interesse é .

Passo 3

O gradiente nabla f(x, y) = ( partial fpartial x, partial fpartial y ) é um vetor que aponta na direção de maior aumento da função. Ele é calculado pelas derivadas parciais de partial fpartial x = 2xy em relação a partial fpartial y = x^2 e 梯 f(x, y) = (2xy, x^2) :
Vamos calcular as derivadas parciais da nossa função :
Então, o gradiente é:

Passo 4

A taxa de variação máxima ocorre na direção do gradiente, e essa taxa é igual ao comprimento (norma) do gradiente. Para encontrar essa taxa máxima, calculamos a norma do gradiente:
| nabla f(x, y) | = raiz(2xy)^2 + (x^2)^2 = raiz4x^2y^2 + x^4 = x raiz4y^2 + x^2

Passo 5

Agora, se a taxa de variação que encontramos anteriormente for igual a , então ela é a máxima possível para a função no ponto considerado. Isso porque, por definição, o gradiente aponta na direção de máximo aumento e sua norma representa a taxa máxima de variação.

Resposta

Sim, a taxa de variação encontrada no item anterior é a máxima possível para a função , pois ela coincide com a norma do gradiente, que representa a taxa de variação máxima.

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