Seja
.
A taxa de variação encontrada no item anterior é a máxima possível para
? Justifique sua resposta.
A taxa de variação encontrada no item anterior é a máxima possível para
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para saber se a taxa de variação que encontramos anteriormente para a função
é a máxima possível. Vamos precisar usar conceitos de cálculo multivariável, especialmente o da derivada direcional e do gradiente. Então, vamos entender o que é a taxa de variação máxima e como ela se relaciona com o gradiente da função.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a taxa de variação de uma função em uma direção específica. Para uma função de duas variáveis, a taxa de variação na direção de um vetor unitário
é dada pela derivada direcional:
Aqui,
é o gradiente da função
e o ponto de interesse é
.
Passo 3
O gradiente
é um vetor que aponta na direção de maior aumento da função. Ele é calculado pelas derivadas parciais de
em relação a
e
:
Vamos calcular as derivadas parciais da nossa função
:
Então, o gradiente é:
Passo 4
A taxa de variação máxima ocorre na direção do gradiente, e essa taxa é igual ao comprimento (norma) do gradiente. Para encontrar essa taxa máxima, calculamos a norma do gradiente:
Passo 5
Agora, se a taxa de variação que encontramos anteriormente for igual a
, então ela é a máxima possível para a função
no ponto considerado. Isso porque, por definição, o gradiente aponta na direção de máximo aumento e sua norma representa a taxa máxima de variação.
Resposta
Sim, a taxa de variação encontrada no item anterior é a máxima possível para a função
, pois ela coincide com a norma do gradiente, que representa a taxa de variação máxima.