Classifique os pontos críticos de:
.
Passo 1
O enunciado pede pra gente encontrar e classificar os pontos críticos da função de duas variáveis
. O conteúdo aqui é otimização com funções de duas variáveis e vamos precisar calcular derivadas parciais, resolver o sistema gradiente nulo e usar o teste da segunda derivada (Hessiano).
Passo 2
Primeiro, calculamos as derivadas parciais e igualamos a zero para achar os pontos críticos. A derivada parcial em relação a
é:
E a derivada parcial em relação a
Resolvendo
e
temos
logo
ou
. Substituindo em
dá
, resultando nos pontos críticos
e
.
Passo 3
Agora precisamos do teste da segunda derivada. Calculamos as segundas derivadas:
O discriminante do Hessiano é
$$
D = f_{xx} f_{yy} - (f_{xy})^{2}.$$
Passo 4
Por fim, avaliamos
e
em cada ponto:
Para :
Para
$$
D = 4\cdot0 - 4^{2} = -16 < 0
f_{xx}=2(-2)=-4,
f_{xy}=2(-2)=-4,
f_{xy}=2(-2)=-4,
f_{yy}=0$$
$$
D = (-4)\cdot0 - (-4)^{2} = -16 < 0$$
Também dá , então
é sela.
Também dá
Passo 5
Concluindo, ambos os pontos críticos são pontos de sela, pois o determinante do Hessiano é negativo em cada caso.
Resposta
Os pontos críticos são (2,2) e (−2,−2), e ambos são pontos de sela.