Classifique os pontos críticos de: z=x^2 y-8 x-4 y.

Passo 1

O enunciado pede pra gente encontrar e classificar os pontos críticos da função de duas variáveis z = x^2y - 8x - 4y. O conteúdo aqui é otimização com funções de duas variáveis e vamos precisar calcular derivadas parciais, resolver o sistema gradiente nulo e usar o teste da segunda derivada (Hessiano).

Passo 2

Primeiro, calculamos as derivadas parciais e igualamos a zero para achar os pontos críticos. A derivada parcial em relação a x é:
partial zpartial x = 2xy - 8
E a derivada parcial em relação a y é:
partial zpartial y = x^2 - 4
Resolvendo 2xy - 8 = 0 e x^2 - 4 = 0 temos x^2=4 logo x=2 ou x=-2. Substituindo em 2xy - 8 = 0 y=4/x, resultando nos pontos críticos (2,2) e (-2,-2).

Passo 3

Agora precisamos do teste da segunda derivada. Calculamos as segundas derivadas:
partial^2 zpartial x^2 = 2y,partial^2 zpartial y^2 = 0,partial^2 zpartial xpartial y = 2x
O discriminante do Hessiano é
$$
D = f_{xx} f_{yy} - (f_{xy})^{2}.$$

Passo 4

Por fim, avaliamos D e fxx em cada ponto:
Para (2,2):
fxx=2cdot2=4, fxy=2cdot2=4, fyy=0
$$
D = 4\cdot0 - 4^{2} = -16 < 0 D = 4cdot0 - 4^2 = -16 < 0é
f_{xx}=2(-2)=-4,
f_{xy}=2(-2)=-4,
f_{yy}=0$$
$$
D = (-4)\cdot0 - (-4)^{2} = -16 < 0$$
Também dá D<0, então (2,2) é sela.

Passo 5

Concluindo, ambos os pontos críticos são pontos de sela, pois o determinante do Hessiano é negativo em cada caso.

Resposta

Os pontos críticos são (2,2) e (−2,−2), e ambos são pontos de sela.

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