Classifique os pontos críticos de:
.
Passo 1
O enunciado pede pra encontrar e classificar os pontos críticos da função de duas variáveis
. O conteúdo envolve derivadas parciais e teste da segunda derivada (Hessiano), além de análise direcional se o teste for inconclusivo.
Passo 2
Primeiro, calculamos as derivadas parciais e igualamos a zero:
Derivada em relação a :
Derivada em relação a
Derivada em relação a
Então o sistema
é
Passo 3
Resolvendo o sistema:
Da segunda equação vem . Substituindo na primeira, ou temos
ou
, que dá
⇒
. Logo o único ponto crítico é
.
Da segunda equação vem
Passo 4
Calculamos as segundas derivadas para o teste do Hessiano:
Em
isso dá
O determinante do Hessiano é
, então o teste é inconclusivo.
Passo 5
Para decidir, fazemos análise direcional. Seja
próximo de
. Então
Escolhendo
Resposta
O único ponto crítico é (0,0), que é um ponto de sela.