Classifique os pontos críticos de: z=3 x^4-4 x^2 y+y^2.

Passo 1

O enunciado pede pra encontrar e classificar os pontos críticos da função de duas variáveis f(x,y)=3x^4-4x^2y+y^2. O conteúdo envolve derivadas parciais e teste da segunda derivada (Hessiano), além de análise direcional se o teste for inconclusivo.

Passo 2

Primeiro, calculamos as derivadas parciais e igualamos a zero:
Derivada em relação a x:
fx=12x^3-8xy=4x(3x^2-2y)
Derivada em relação a y:
fy=-4x^2+2y=2(y-2x^2)
Então o sistema fx=0, fy=0 é
4x(3x^2-2y)=0,
y-2x^2=0

Passo 3

Resolvendo o sistema:
Da segunda equação vem y=2x^2. Substituindo na primeira, ou temos x=0 ou 3x^2-2(2x^2)=0, que dá 3x^2-4x^2=-x^2=0 x=0. Logo o único ponto crítico é (0,0).

Passo 4

Calculamos as segundas derivadas para o teste do Hessiano:
fxx=36x^2-8y, fxy=-8x, fyy=2
Em (0,0) isso dá
fxx(0,0)=0, fxy(0,0)=0, fyy(0,0)=2
O determinante do Hessiano é D=fxxfyy-fxy^2=0, então o teste é inconclusivo.

Passo 5

Para decidir, fazemos análise direcional. Seja y=kx^2 próximo de (0,0). Então
f(x,kx^2)=(3-4k+k^2)x^4=(k-1)(k-3)x^4
Escolhendo k=2 (entre 1 e 3) temos f<0 para xneq0, e escolhendo k=0 temos f=3x^4>0. Isso mostra valores positivos e negativos arbitrariamente próximos de (0,0), indicando um ponto de sela.

Resposta

O único ponto crítico é (0,0), que é um ponto de sela.

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