A função
é contínua em
? Justifique sua resposta.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão quer saber se a função
é contínua no ponto
. Estamos lidando com funções de duas variáveis e a continuidade delas. Para verificar a continuidade no ponto
, precisamos ver se o limite de
quando
se aproxima de
é igual ao valor da função nesse ponto, que é 0.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa continuidade para funções de duas variáveis. Uma função
é contínua no ponto
se:
No nosso caso,
, então precisamos verificar se:
Passo 3
Para calcular esse limite, uma boa estratégia é usar coordenadas polares, mas como aqui temos
e
, vamos analisar o limite por diferentes caminhos e ver se sempre chega ao mesmo resultado.
Passo 4
Vamos começar pelo caminho
:
Então, ao se aproximar de
ao longo do eixo
, o limite é 0.
Passo 5
Agora, vamos pelo caminho
:
Assim, ao se aproximar de
ao longo do eixo
, o limite também é 0.
Passo 6
Vamos tentar um caminho mais geral, por exemplo,
, onde
é uma constante:
Ao simplificar, vemos que o limite depende de
, o que significa que diferentes caminhos levam a diferentes valores de limite.
Passo 7
Como encontramos que o limite depende do caminho escolhido (neste caso, depende de
), isso indica que o limite geral não existe. Se o limite não existe ou não é igual ao valor da função no ponto, a função não é contínua nesse ponto.
Resposta
A função
não é contínua em
porque o limite de
quando
se aproxima de
depende do caminho escolhido, ou seja, o limite não é único e não coincide com o valor da função no ponto.