A função
f(x, y)=ll 2 x y^2x^2+y^4, & se (x, y) neq(0,0) 0, & se (x, y)=(0,0)
é contínua em (0,0)? Justifique sua resposta.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão quer saber se a função é contínua no ponto . Estamos lidando com funções de duas variáveis e a continuidade delas. Para verificar a continuidade no ponto , precisamos ver se o limite de quando se aproxima de é igual ao valor da função nesse ponto, que é 0.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa continuidade para funções de duas variáveis. Uma função lim(x, y) to (a, b) f(x, y) = f(a, b) é contínua no ponto lim(x, y) to (0,0) 2xy^2x^2+y^4 = 0 se:
No nosso caso, , então precisamos verificar se:

Passo 3

Para calcular esse limite, uma boa estratégia é usar coordenadas polares, mas como aqui temos e , vamos analisar o limite por diferentes caminhos e ver se sempre chega ao mesmo resultado.

Passo 4

Vamos começar pelo caminho f(0, y) = 2 cdot 0 cdot y^20^2 + y^4 = 0 :
Então, ao se aproximar de ao longo do eixo , o limite é 0.

Passo 5

Agora, vamos pelo caminho f(x, 0) = 2x cdot 0^2x^2 + 0^4 = 0 :
Assim, ao se aproximar de ao longo do eixo , o limite também é 0.

Passo 6

Vamos tentar um caminho mais geral, por exemplo, f(x, kx^1/2) = 2x (k x^1/2)^2x^2 + (k x^1/2)^4 = 2x cdot k^2 xx^2 + k^4x^2 = 2k^2 x^2x^2(1 + k^4) = 2k^21 + k^4 , onde é uma constante:
Ao simplificar, vemos que o limite depende de , o que significa que diferentes caminhos levam a diferentes valores de limite.

Passo 7

Como encontramos que o limite depende do caminho escolhido (neste caso, depende de ), isso indica que o limite geral não existe. Se o limite não existe ou não é igual ao valor da função no ponto, a função não é contínua nesse ponto.

Resposta

A função não é contínua em porque o limite de quando se aproxima de depende do caminho escolhido, ou seja, o limite não é único e não coincide com o valor da função no ponto.

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