Classifique os pontos indicados como ordinários, singulares regulares ou singulares irregulares para as seguintes equações diferenciais:
, em
,
Justifique em cada caso com base na definição de ponto ordinário e dos tipos de singularidade.
Passo 1
O enunciado pede para classificar os pontos indicados
e
em relação à equação
As perguntas são, para cada ponto: (i) o ponto é ordinário ou singular? (ii) se for singular, é singular regular ou singular irregular?
Informações dadas: a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes polinomiais ,
e
.
Informações dadas: a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes polinomiais
Passo 2
Primeiro colocamos a equação na forma padrão
dividindo por o coeficiente de
, isto é por
(valores onde isso for permitido). Fazendo a divisão:
Simplificando
onde possível, para
temos
Portanto, para
a forma padrão é
Passo 3
Vou lembrar as definições que usamos na classificação (isso é importante para justificar corretamente):
- Um ponto
é um ponto ordinário se o coeficiente do termo de segunda derivada não se anula em , ou equivalentemente se, na forma padrão, e são analíticos em . - Se o coeficiente do termo de segunda derivada se anula em
, dizemos que é um ponto singular. Para um ponto singular definimos: - é singular regular se
e são analíticos em (ou seja, têm limite finito ou são removivelmente singulares); - é singular irregular se pelo menos uma das quantidades
ou não for analítica em (p.ex. tiver pólo essencial ou pólo de ordem maior).
- é singular regular se
Antes de classificar calculamos os objetos necessários.
Passo 4
Verificação prévia de pontos ordinários vs singulares: o coeficiente de
é
. Em
e em
temos
. Logo ambos são pontos singulares (não são pontos ordinários). Agora precisamos decidir se são singulares regulares ou irregulares pela condição de Frobenius (isto é, checando
e
).
Passo 5
Usamos as expressões obtidas:
Calculemos as funções testadas em
:
Isto é uma função constante e, portanto, é analítica em
(valor limite
).
Agora
Agora
A expressão
é uma função racional sem pólo em
; em
ela vale
. Assim
é também analítica em
(é até uma função com expansão de Taylor em torno de
).
Como ambas as quantidades
e
são analíticas em
, concluímos que
é um ponto singular regular.
Passo 6
Para
próximo de
podemos continuar usando a forma simplificada
(válida em um vizinhança que exclui
, mas inclui
);
continua válida. Calculamos:
Esta função tem valor limite
em
e não tem pólo em
, logo é analítica em
.
Agora
Agora
Também aqui obtemos uma função sem pólo em
, com valor limite
. Portanto
é analítica em
.
Como ambas as quantidades testadas são analíticas em
, concluímos que
é também um ponto singular regular.
Passo 7
Resumo e interpretação curta (sem repetir cálculos): ambos os pontos onde o coeficiente de
zera têm as quantidades
e
bem comportadas (removíveis) — por isso os dois são singulares regulares. Um exemplo rápido para fixar a diferença: se em vez de
tivéssemos algo como
, então
não seria analítica em
e aí
seria singular irregular.