Classifique os pontos indicados como ordinários, singulares regulares ou singulares irregulares para as seguintes equações diferenciais:
x(x-1) y^{\prime \prime}+(x-1) y^{\prime}+y=0, em x=0, x=1
Justifique em cada caso com base na definição de ponto ordinário e dos tipos de singularidade.

Passo 1

O enunciado pede para classificar os pontos indicados x=0 e x=1 em relação à equação
x(x-1)\,y''+(x-1)\,y'+y=0.
As perguntas são, para cada ponto: (i) o ponto é ordinário ou singular? (ii) se for singular, é singular regular ou singular irregular?
Informações dadas: a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes polinomiais a_2(x)=x(x-1), a_1(x)=x-1 e a_0(x)=1.

Passo 2

Primeiro colocamos a equação na forma padrão
y''+p(x)\,y'+q(x)\,y=0,
dividindo por o coeficiente de y'', isto é por x(x-1) (valores onde isso for permitido). Fazendo a divisão:
p(x)=\frac{x-1}{x(x-1)},\qquad q(x)=\frac{1}{x(x-1)}.
Simplificando p(x) onde possível, para x\neq1 temos
p(x)=\frac{1}{x}.
Portanto, para x\neq0,1 a forma padrão é
y''+\frac{1}{x}\,y'+\frac{1}{x(x-1)}\,y=0.

Passo 3

Vou lembrar as definições que usamos na classificação (isso é importante para justificar corretamente):
  • Um ponto x_0 é um ponto ordinário se o coeficiente do termo de segunda derivada não se anula em x_0, ou equivalentemente se, na forma padrão, p(x) e q(x) são analíticos em x_0.
  • Se o coeficiente do termo de segunda derivada se anula em x_0, dizemos que x_0 é um ponto singular. Para um ponto singular x_0 definimos:
    • é singular regular se (x-x_0)\,p(x) e (x-x_0)^2\,q(x) são analíticos em x_0 (ou seja, têm limite finito ou são removivelmente singulares);
    • é singular irregular se pelo menos uma das quantidades (x-x_0)\,p(x) ou (x-x_0)^2\,q(x) não for analítica em x_0 (p.ex. tiver pólo essencial ou pólo de ordem maior).
Antes de classificar calculamos os objetos necessários.

Passo 4

Verificação prévia de pontos ordinários vs singulares: o coeficiente de y'' é a_2(x)=x(x-1). Em x=0 e em x=1 temos a_2=0. Logo ambos são pontos singulares (não são pontos ordinários). Agora precisamos decidir se são singulares regulares ou irregulares pela condição de Frobenius (isto é, checando (x-x_0)p e (x-x_0)^2 q).

Passo 5

Usamos as expressões obtidas:
p(x)=\frac{1}{x},\qquad q(x)=\frac{1}{x(x-1)}.
Calculemos as funções testadas em x_0=0:
(x-0)\,p(x)=x\cdot\frac{1}{x}=1.
Isto é uma função constante e, portanto, é analítica em x=0 (valor limite 1).
Agora
(x-0)^2\,q(x)=x^2\cdot\frac{1}{x(x-1)}=\frac{x}{x-1}.
A expressão \dfrac{x}{x-1} é uma função racional sem pólo em x=0; em x=0 ela vale \dfrac{0}{-1}=0. Assim (x)^2 q(x) é também analítica em x=0 (é até uma função com expansão de Taylor em torno de 0).
Como ambas as quantidades (x-0)p(x) e (x-0)^2 q(x) são analíticas em x=0, concluímos que x=0 é um ponto singular regular.

Passo 6

Para x próximo de 1 podemos continuar usando a forma simplificada p(x)=1/x (válida em um vizinhança que exclui x=0, mas inclui x=1); q(x)=1/(x(x-1)) continua válida. Calculamos:
(x-1)\,p(x)=(x-1)\cdot\frac{1}{x}=\frac{x-1}{x}.
Esta função tem valor limite \dfrac{1-1}{1}=0 em x=1 e não tem pólo em x=1, logo é analítica em x=1.
Agora
(x-1)^2\,q(x)=(x-1)^2\cdot\frac{1}{x(x-1)}=\frac{x-1}{x}.
Também aqui obtemos uma função sem pólo em x=1, com valor limite 0. Portanto (x-1)^2 q(x) é analítica em x=1.
Como ambas as quantidades testadas são analíticas em x=1, concluímos que x=1 é também um ponto singular regular.

Passo 7

Resumo e interpretação curta (sem repetir cálculos): ambos os pontos onde o coeficiente de y'' zera têm as quantidades (x-x_0)p(x) e (x-x_0)^2 q(x) bem comportadas (removíveis) — por isso os dois são singulares regulares. Um exemplo rápido para fixar a diferença: se em vez de q(x)=1/(x(x-1)) tivéssemos algo como q(x)=1/x^3, então (x)^2 q(x)=1/x não seria analítica em 0 e aí 0 seria singular irregular.

Resposta

x=0: ponto singular regular\n
x=1: ponto singular regular

Exercícios relacionados