Classifique os pontos indicados como ordinários, singulares regulares ou singulares irregulares para as seguintes equações diferenciais:
, em
Justifique em cada caso com base na definição de ponto ordinário e dos tipos de singularidade.
Passo 1
O enunciado pede: classificar o ponto
para a equação
Informações dadas (extraídas do enunciado):
- Coeficiente de
: . - Coeficiente de
: . - Coeficiente de
: .
A tarefa é dizer seé ponto ordinário, ponto singular regular ou ponto singular irregular, justificando com base nas definições.
Passo 2
Colocar a equação na forma padrão (coeficiente de
igual a 1) dividindo por
. Fazendo isso obtemos
onde
Passo 3
Relembrando as definições (de modo prático, para aplicar na prova):
- Ponto ordinário em
: as funções e são analíticas (i.e. têm série de Taylor convergente) em . - Ponto singular em
: pelo menos uma das funções ou não é analítica em . - Ponto singular regular em
: é singular e, além disso, e são analíticas em . - Ponto singular irregular em
: é singular e pelo menos uma das condições para singular regular falha (ou seja, ou não é analítica).
Aqui
. Vou verificar a analiticidade de
e
em
e então as quantidades
e
.
Passo 4
Análise de
em
.
- Observação: o fator
indica uma singularidade em (não é analítico em ). Logo não é analítica em e, portanto, não é ponto ordinário. - Calculemos
:
A função
é claramente analítica em
(série de Taylor convergente, valor
em
). Portanto
é analítica em
. Isso mostra que a singularidade de
em
é, na melhor das hipóteses, uma polo simples (comportamento como
) e atende ao requisito para ponto singular regular relativo a
.
Passo 5
Análise de
em
.
- A função
é analítica em e tem série de Taylor
- O denominador
é analítico e vale em , logo não anula nem causa problema em . - Portanto
é analítica em . Em particular também é analítica (produto de duas funções analíticas). - Para ver concretamente:
que é uma função com série em potências não-negativas de
e, portanto, analítica em
.
Passo 6
Consolidando os verificações:
-
não é analítica em (há um ), então é singular (não ordinário). - Contudo
é analítica em . - E
é analítica em (na verdade já é analítica).
Pelas definições dadas, ambas as condições para um ponto singular regular são satisfeitas em.
Resposta
Ponto singular regular.