Classifique os pontos indicados como ordinários, singulares regulares ou singulares irregulares para as seguintes equações diferenciais:
\left(x^{2}+1\right) y^{\prime \prime}+\frac{1}{x} y^{\prime}+\tan (x) y=0, em x=0
Justifique em cada caso com base na definição de ponto ordinário e dos tipos de singularidade.

Passo 1

O enunciado pede: classificar o ponto x=0 para a equação
\left(x^{2}+1\right) y^{\prime \prime}+\frac{1}{x} y^{\prime}+\tan (x) y=0.
Informações dadas (extraídas do enunciado):
  • Coeficiente de y'': a(x)=x^{2}+1.
  • Coeficiente de y': b(x)=\dfrac{1}{x}.
  • Coeficiente de y: c(x)=\tan(x).
    A tarefa é dizer se x=0 é ponto ordinário, ponto singular regular ou ponto singular irregular, justificando com base nas definições.

Passo 2

Colocar a equação na forma padrão (coeficiente de y'' igual a 1) dividindo por a(x)=x^{2}+1. Fazendo isso obtemos
y''+p(x)\,y'+q(x)\,y=0,
onde
p(x)=\frac{b(x)}{a(x)}=\frac{\dfrac{1}{x}}{x^{2}+1}=\frac{1}{x(x^{2}+1)}, \qquad q(x)=\frac{c(x)}{a(x)}=\frac{\tan(x)}{x^{2}+1}.

Passo 3

Relembrando as definições (de modo prático, para aplicar na prova):
  • Ponto ordinário em x_0: as funções p(x) e q(x) são analíticas (i.e. têm série de Taylor convergente) em x_0.
  • Ponto singular em x_0: pelo menos uma das funções p ou q não é analítica em x_0.
  • Ponto singular regular em x_0: é singular e, além disso, (x-x_0)p(x) e (x-x_0)^2 q(x) são analíticas em x_0.
  • Ponto singular irregular em x_0: é singular e pelo menos uma das condições para singular regular falha (ou seja, (x-x_0)p ou (x-x_0)^2 q não é analítica).
Aqui x_0=0. Vou verificar a analiticidade de p e q em 0 e então as quantidades \,x p(x) e x^{2} q(x).

Passo 4

Análise de p(x)=\dfrac{1}{x(x^{2}+1)} em x=0.
  • Observação: o fator 1/x indica uma singularidade em x=0 (não é analítico em 0). Logo p não é analítica em 0 e, portanto, x=0 não é ponto ordinário.
  • Calculemos x p(x):
x p(x)=x\cdot\frac{1}{x(x^{2}+1)}=\frac{1}{x^{2}+1}.
A função \dfrac{1}{x^{2}+1} é claramente analítica em x=0 (série de Taylor convergente, valor \,1 em 0). Portanto \,x p(x) é analítica em 0. Isso mostra que a singularidade de p em 0 é, na melhor das hipóteses, uma polo simples (comportamento como 1/x) e atende ao requisito para ponto singular regular relativo a p.

Passo 5

Análise de q(x)=\dfrac{\tan(x)}{x^{2}+1} em x=0.
  • A função \tan(x) é analítica em x=0 e tem série de Taylor
\tan(x)=x+\frac{x^{3}}{3}+O(x^{5}).
  • O denominador x^{2}+1 é analítico e vale 1 em 0, logo não anula nem causa problema em 0.
  • Portanto q(x) é analítica em x=0. Em particular x^{2} q(x) também é analítica (produto de duas funções analíticas).
  • Para ver concretamente:
x^{2}q(x)=x^{2}\cdot\frac{\tan(x)}{x^{2}+1}=\frac{x^{3}+\frac{x^{5}}{3}+O(x^{7})}{x^{2}+1},
que é uma função com série em potências não-negativas de x e, portanto, analítica em 0.

Passo 6

Consolidando os verificações:
  • p(x) não é analítica em 0 (há um 1/x), então x=0 é singular (não ordinário).
  • Contudo \,x p(x)=\dfrac{1}{x^{2}+1} é analítica em 0.
  • E \,x^{2} q(x) é analítica em 0 (na verdade q já é analítica).
    Pelas definições dadas, ambas as condições para um ponto singular regular são satisfeitas em x=0.

Resposta

Ponto singular regular.

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