Use o método de Frobenius para encontrar a forma da solução geral em torno de
das seguintes equações, determinando o polinômio indicial e a fórmula de recorrência:
Discuta a existência de uma segunda solução independente e a possível ocorrência de logaritmos.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede que eu use o método de Frobenius para encontrar a forma da solução geral em torno de
, determinando o polinômio indicial e a fórmula de recorrência. Também pede que eu discuta se existe uma segunda solução independente e se aparecem logaritmos.
Informações relevantes dadas:
- Ponto de interesse:
. - É uma equação com coeficientes singulares regulares (coeficientes têm no máximo singularidade do tipo
e em ). - Objetivos explícitos: polinômio indicial, fórmula de recorrência, forma das soluções de Frobenius, e discussão sobre independência das soluções / ocorrência de logaritmos.
Passo 2
Vou aplicar o método de Frobenius: assumo uma solução da forma
onde
é o expoente a determinar (é o que aparece no polinômio indicial) e os
são coeficientes a determinar.
Calculo as derivadas (tudo em séries de Potências de
):
Multiplico pelos fatores da equação:
Agora somo os termos correspondentes e reúno as potências
.
Passo 3
Juntando os termos que aparecem com a mesma potência
obtenho, para cada
,
onde entendo
(porque não existem esses coeficientes na série inicial).
Simplifico o coeficiente:
Portanto a relação geral é
O polinômio indicial vem do termo com
(onde
), ou seja
Como
segue que o polinômio indicial é
e as raízes são
Passo 4
Escrevo explicitamente a fórmula de recorrência. Para
temos
Para
a equação é
mas
. Vou verificar se o fator em colchetes pode ser zero para nossos valores de
. Note que, usando a relação do polinômio indicial
(equivalente a
), posso reescrever
Para
obtemos
. Para
obtemos
. Logo o coeficiente multiplicador de
não é zero para nenhuma das raízes, portanto
em ambos os casos. A consequência prática é que a recorrência liga apenas coeficientes separados por dois índices:
em função de
. Assim, escolhendo
livre obtém-se
; e
é forçado a zero e portanto
também serão zero.
Posso escrever as soluções de Frobenius de forma explícita (uma para cada raiz
). Para cada raiz
existe uma Série de Frobenius do tipo
com coeficientes dados por
(e convenção
). Em particular
Passo 5
Discussão sobre a segunda solução e logaritmos. Os dois expoentes são
A diferença é
que não é um inteiro. Pelo teorema clássico de Frobenius, quando as raízes do polinômio indicial não diferem por um inteiro, existem duas soluções independentes dadas por séries de Frobenius (uma associada a cada raiz) e não aparecem termos com logaritmos. Portanto há duas soluções lineares independentes
e a solução geral é
. Não há ocorrência de logaritmos.
Resposta
Polinômio indicial:
.
Raízes:
.
Recorrência:
para
, com
e
. Assim os coeficientes ímpares são nulos e as séries envolvem apenas potências de
multiplicando
.
Forma das soluções de Frobenius: duas soluções independentes
com
,
e coeficientes dados pela recorrência acima.
Sobre segunda solução / logaritmos: as raízes diferem por
, logo existem duas soluções de Frobenius independentes e não aparecem termos com logaritmos.