Classifique quanto a estabilidade e linearidade o sistema com relação entrada saída
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a) Estável, linear b) Estável, não-linear c) Instável, linear d) Instável, não-linear
a) Estável, linear b) Estável, não-linear c) Instável, linear d) Instável, não-linear
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente classificar a estabilidade e a linearidade de um sistema onde a saída $ y(t) $ é dada por $ y(t) = t \cdot x(2t + 5) $. Isso envolve entender dois conceitos importantes na teoria de sistemas: estabilidade e linearidade. Para resolver, vamos precisar analisar cada um desses conceitos aplicados à função dada.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre linearidade. Um sistema é linear se ele satisfaz duas propriedades: homogeneidade e adição. Isso significa que se a entrada é escalada por um fator, a saída também é escalada pelo mesmo fator (homogeneidade), e se temos duas entradas somadas, a saída será a soma das saídas individuais (adição).
No nosso caso, a saída é $ y(t) = t \cdot x(2t + 5) $. Observando a equação, vemos que a saída depende do produto de $ t $ com a entrada $ x(2t + 5) $. A presença desse termo $ t $ multiplicando a entrada indica que o sistema não preserva a homogeneidade nem a adição de forma linear. Portanto, o sistema não é linear.
Passo 3
Agora, vamos analisar a estabilidade do sistema. Um sistema é considerado estável se, para toda entrada limitada, a saída também é limitada. Ou seja, não importa quão grande seja a entrada, a saída não “explode” para o infinito.
Na nossa função $ y(t) = t \cdot x(2t + 5) $, o termo $ t $ está multiplicando a entrada. Conforme $ t $ aumenta, o valor de $ y(t) $ também aumenta proporcionalmente a $ t $, assumindo que $ x(2t + 5) $ seja limitado. Isso significa que se $ t $ cresce sem limites, a saída $ y(t) $ também crescerá sem limites, tornando o sistema instável.
Resposta
d) Instável, não-linear