Questão 4 (Valor 2,0): A divisão em Z é garantida pelo Algoritmo da Divisão como sendo:
Dados inteiros a, b, a neq 0, pode-se determinar dois inteiros q, r tais que b=a q+r, com 0 <= r<|a|. Neste caso, dizemos que b é o dividendo, a é o divisor, q é o quociente e r é o resto na divisão de b por a.
Utilizando o Algoritmo da Divisão, encontre (justificando) o quociente e o resto na divisão de 35 div(-4).

Passo 1

Beleza, a questão é usar o Algoritmo da Divisão em ℤ pra achar o quociente e o resto de
35 div (-4)
Isso faz parte de Teoria dos Números (ou Aritmética de Inteiros) e exige a definição: para inteiros b = acdot q + r, 0 <= r < |a| e , existem únicos e tais que
Aqui , . Precisamos encontrar e que satisfaçam isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a condição do resto:
0 ≤ r < |a| = 4.
Ou seja, o resto tem que ser 0, 1, 2 ou 3. Além disso, deve valer
35 = (-4)cdot q + r
Nossa estratégia é testar valores de de forma a deixar dentro de [0,3].

Passo 3

Vamos listar alguns múltiplos de perto de 35 e ver qual funciona:
  • Se , , então (não vale, r é negativo).
  • Se , , então (ainda r negativo).
  • Se , , então . Aqui está no intervalo [0,4), beleza!

Passo 4

Confirmando: com (-4)cdot(-8) + 3 = 32 + 3 = 35 e temos
e . Está tudo certinho segundo o Algoritmo da Divisão.

Resposta

Quociente e resto .

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