Com relação a classificação de sistemas foram apresentadas diversas propriedades gerais dos sistemas. Particularmente, um sistema pode ou não ser:
(1) Sem memória
(2) Invariante no tempo
(3) Linear
(4) Causal
(5) Estável
Determine quais das propriedades listadas acima são válidas e quais não são para cada um dos sistemas de tempo discreto a seguir. Justifique suas respostas.
Em cada exemplo, y(t) representa a saída do sistema e x(t) é a entrada do sistema.,
y[n]=n x[n]

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente analisar um sistema de tempo discreto definido por $ y[n] = n \cdot x[n] $ e verificar quais das seguintes propriedades ele possui:
  1. Sem memória
  2. Invariante no tempo
  3. Linear
  4. Causal
  5. Estável
Vamos precisar entender cada uma dessas propriedades para aplicar na análise do sistema. Vamos passo a passo!

Passo 2

1. Sem memória
Um sistema é sem memória se a saída em qualquer instante $ n $ depende apenas da entrada no mesmo instante $ n $. Ou seja, não depende de entradas passadas ou futuras.
No nosso sistema, $ y[n] = n \cdot x[n] $.
Aqui, a saída $ y[n] $ depende somente de $ x[n] $ e do índice $ n $. Não há dependência de $ x $ em outros instantes. Portanto, o sistema é sem memória.

Passo 3

2. Invariante no tempo
Um sistema é invariante no tempo se, ao deslocar a entrada no tempo, a saída também se desloque da mesma forma. Em outras palavras, as propriedades do sistema não mudam com o tempo.
Vamos testar isso. Suponha que a entrada seja deslocada por $ n_0 $, então a nova entrada seria $ x’[n] = x[n - n_0] $.
A saída correspondente seria:
n0
Se o sistema fosse invariante no tempo, esperaríamos:
x'[n] = x[n - n0]
Mas comparando:
y'[n] = n cdot x'[n] = n cdot x[n - n0]
Como as duas expressões não são iguais, o sistema não é invariante no tempo.

Passo 4

3. Linear
Um sistema é linear se satisfaz os princípios da aditividade e da homogeneidade. Isso significa que, para duas entradas $ x_1[n] $ e $ x_2[n] $, e para constantes $ a $ e $ b $, temos:
x1[n]
Vamos verificar:
Considere duas entradas $ x_1[n] $ e $ x_2[n] $, com respectivas saídas:
x2[n]
a
Para a entrada combinada $ a \cdot x_1[n] + b \cdot x_2[n] $, a saída seria:
b
Como satisfaz a linearidade, o sistema é linear.

Passo 5

4. Causal
Um sistema é causal se a saída em qualquer instante $ n $ depende apenas dos valores da entrada no presente ou no passado, nunca do futuro.
No nosso sistema, $ y[n] = n \cdot x[n] $.
Aqui, a saída $ y[n] $ depende apenas de $ x[n] $, que é o presente. Não há dependência de $ x $ em futuros ou passados. Portanto, o sistema é causal.

Passo 6

5. Estável
Um sistema é estável no sentido de BIBO (Bounded Input, Bounded Output) se, para toda entrada limitada, a saída também é limitada.
Vamos analisar:
Se $ |x[n]| \leq M $ para algum $ M > 0 $, então:
|x[n]| <= M
Como $ n $ pode crescer sem limite, $ |y[n]| $ também pode crescer sem limite, mesmo que $ x[n] $ seja limitado. Portanto, a saída pode não ser limitada mesmo com uma entrada limitada, o que significa que o sistema não é estável.

Resposta

Para o sistema $ y[n] = n \cdot x[n] $:
  1. Sem memória: Válido
  2. Invariante no tempo: Não válido
  3. Linear: Válido
  4. Causal: Válido
  5. Estável: Não válido

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