Classifique, quanto ao número de soluções, os seguintes sistemas abaixo.
c) \left\{\begin{array}{l}x+y+2 z=0 \\\ x-y-3 z=0 \\\ x+4 y=0\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para classificar, quanto ao número de soluções, o sistema linear
\begin{cases} x+y+2z=0,\\\ x-y-3z=0,\\\ x+4y=0. \end{cases}
Vamos usar o método de substituição para ver se surge uma única solução, infinitas ou nenhuma.

Passo 2

Da terceira equação x+4y=0 isolamos x:
x=-4y.

Passo 3

Substituímos x=-4y na primeira equação x+y+2z=0, obtendo
-4y + y + 2z = 0 \quad\Longrightarrow\quad -3y + 2z = 0.

Passo 4

Resolvendo para z em função de y:
2z = 3y \quad\Longrightarrow\quad z = \frac{3}{2}\,y.

Passo 5

Agora substituímos x=-4y e z=\tfrac{3}{2}y na segunda equação x - y - 3z = 0:
-4y - y - 3\bigl(\tfrac{3}{2}y\bigr) = 0 \quad\Longrightarrow\quad -5y - \tfrac{9}{2}y = 0 \quad\Longrightarrow\quad -\tfrac{19}{2}y = 0 \quad\Longrightarrow\quad y = 0.

Passo 6

Com y=0 temos
x = -4\cdot 0 = 0, \qquad z = \tfrac{3}{2}\cdot 0 = 0.
Logo o sistema admite a única solução (x,y,z)=(0,0,0).

Resposta

O sistema tem exatamente uma solução.

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