Determine o valor de k para que o sistema \left\{\begin{array}{l}3 z-4 y=1 \\\\ 4 x-2 z=2 \\\\ 2 y-3 x=3-k\end{array}\right. seja indeterminado.

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear em (x,y,z)\): \[\begin{cases} 3z - 4y = 1,\\\\ 4x - 2z = 2,\\\\ 2y - 3x = 3 - k, \end{cases}
e pede o valor de k\] para que ele seja indeterminado (isto é, tenha infinitas soluções). Para isso vamos usar o critério de Rouché‐Capelli: o sistema tem infinitas soluções se, e somente se, 1. \(\mathrm{rank}(A)=\mathrm{rank}([A|\mathbf b])<3,
onde A é a matriz dos coeficientes e \mathbf b o vetor dos termos independentes.

Passo 2

Escrevemos a matriz dos coeficientes
A = \begin{pmatrix} 0 & -4 & 3\\\\ 4 & 0 & -2\\\\ -3 & 2 & 0 \end{pmatrix}
e calculamos seu determinante para ver se \mathrm{rank}(A)<3:
\det(A) = \begin{vmatrix} 0 & -4 & 3\\\\ 4 & 0 & -2\\\\ -3 & 2 & 0 \end{vmatrix} = 0\cdot\det\begin{pmatrix}0 & -2\\\ 2 & 0\end{pmatrix} -(-4)\cdot\det\begin{pmatrix}4 & -2\\\ -3 & 0\end{pmatrix} +3\cdot\det\begin{pmatrix}4 & 0\\\ -3 & 2\end{pmatrix}.
Calculando cada menor:
\det\begin{pmatrix}4 & -2\\\ -3 & 0\end{pmatrix} =4\cdot0 - (-2)\cdot(-3)= -6, \quad \det\begin{pmatrix}4 & 0\\\ -3 & 2\end{pmatrix} =4\cdot2 - 0\cdot(-3)=8.
Logo
\det(A) = 4\cdot(-6) + 3\cdot8 = -24 + 24 = 0.
Como \det(A)=0, temos \mathrm{rank}(A)\le2 para qualquer k.

Passo 3

Para haver infinitas soluções precisamos também que \mathrm{rank}([A|\mathbf b])=\mathrm{rank}(A)\). Isso significa que a dependência linear entre as linhas de \(A\) deve valer também para o vetor dos termos independentes. Buscamos coeficientes \(a,b,c\) tais que \[a\,(0,\,-4,\,3)+b\,(4,\,0,\,-2)+c\,(-3,\,2,\,0)=(0,0,0).
Das componentes x,y,z vêm os sistemas
\begin{cases} 4b-3c=0,\\\\ -4a+2c=0,\\\\ 3a-2b=0. \end{cases}
Uma solução é a=2\], \(b=3, c=4, pois de fato 4\cdot3=12=3\cdot4 e 4\cdot2=8=2\cdot4 e 3\cdot2=6=2\cdot3.

Passo 4

A mesma combinação deve anular os termos independentes:
2\cdot(1) + 3\cdot(2) + 4\cdot\bigl(3 - k\bigr) = 0 \;\Longrightarrow\; 2 + 6 + 12 - 4k = 0 \;\Longrightarrow\; 20 - 4k = 0 \;\Longrightarrow\; k = 5.
Para k=5 temos \mathrm{rank}(A)=\mathrm{rank}([A|\mathbf b])=2<3 e, portanto, infinitas soluções.

Resposta

k = 5

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