Determine o valor de k para que o sistema \left\{\begin{array}{l}3 z-4 y=1 \\\\ 4 x-2 z=2 \\\\ 2 y-3 x=3-k\end{array}\right. seja indeterminado.
Passo 1
O enunciado dá o sistema linear em (x,y,z)\):
\[\begin{cases} 3z - 4y = 1,\\\\ 4x - 2z = 2,\\\\ 2y - 3x = 3 - k, \end{cases}
e pede o valor de k\] para que ele seja indeterminado (isto é, tenha infinitas soluções).
Para isso vamos usar o critério de Rouché‐Capelli: o sistema tem infinitas soluções se, e somente se,
1. \(\mathrm{rank}(A)=\mathrm{rank}([A|\mathbf b])<3,
onde A é a matriz dos coeficientes e \mathbf b o vetor dos termos independentes.
Como \det(A)=0, temos \mathrm{rank}(A)\le2 para qualquer k.
Passo 3
Para haver infinitas soluções precisamos também que \mathrm{rank}([A|\mathbf b])=\mathrm{rank}(A)\).
Isso significa que a dependência linear entre as linhas de \(A\) deve valer também para o vetor dos termos independentes.
Buscamos coeficientes \(a,b,c\) tais que
\[a\,(0,\,-4,\,3)+b\,(4,\,0,\,-2)+c\,(-3,\,2,\,0)=(0,0,0).