Determine a e b para que o sistema \left\{\begin{array}{l}6 x+a y=12 \\\\ 4 x+4 y=b\end{array}\right. seja indeterminado. Passo 1Estamos com o sistema \begin{cases} 6x + a\,y = 12,\\\\ 4x + 4y = b, \end{cases} e queremos que ele seja indeterminado, ou seja, tenha infinitas soluções. Para isso, as duas equações devem ser proporcionais: o determinante do sistema deve ser zero e o vetor de termos independentes deve obedecer à mesma proporção. Passo 2O determinante da matriz dos coeficientes é \Delta = \begin{vmatrix} 6 & a\\\\ 4 & 4 \end{vmatrix} =6\cdot4 - a\cdot4 =24 -4a. Para infinitas soluções precisamos de \Delta=0, portanto 24 -4a = 0 \quad\Longrightarrow\quad a = 6. Passo 3Com a=6, a primeira equação fica 6x+6y=12. Para que a segunda equação seja proporcional a essa, deve existir um escalar k tal que 4x+4y = k\,(6x+6y). Comparando coeficientes em x dá 4 = 6k, logo k = \tfrac{4}{6} = \tfrac{2}{3}. Então o termo independente b deve satisfazer b = k \cdot 12 = \tfrac{2}{3}\cdot12 = 8. Resposta a = 6 e b = 8. MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAExercícios relacionadosClassifique, quanto ao número de soluções, os seguintes sistemas abaixo. c) \left\{\begin{array}{l}x+y+2 z=0 \\\ x-y-3 z=0 \\\ x+4 y=0\end{array}\right. Resolva as equações matriciais: \left(\begin{array}{ccc}1 & 4 & 7 \\\\ 2 & 3 & 6 \\\\ 5 & 1 & -1\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}x \\\ y \\\ z\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}2 \\\\ 2 \\\\ 8\end{array}\right) \quad Determine o valor de k para que o sistema \left\{\begin{array}{l}3 z-4 y=1 \\\\ 4 x-2 z=2 \\\\ 2 y-3 x=3-k\end{array}\right. seja indeterminado. (Fuvest-SP) Para quais valores de k o sistema linear \left\{\begin{array}{l}x+y+z=1 \\\\ 3 x-y+2 z=3 \text { é compativel e determinado? } \\\ y+k z=-2\end{array}\right.é