1. Determine a e b para que o sistema \left\{\begin{array}{l}6 x+a y=12 \\\\ 4 x+4 y=b\end{array}\right. seja indeterminado.

Passo 1

Estamos com o sistema
\begin{cases} 6x + a\,y = 12,\\\\ 4x + 4y = b, \end{cases}
e queremos que ele seja indeterminado, ou seja, tenha infinitas soluções. Para isso, as duas equações devem ser proporcionais: o determinante do sistema deve ser zero e o vetor de termos independentes deve obedecer à mesma proporção.

Passo 2

O determinante da matriz dos coeficientes é
\Delta = \begin{vmatrix} 6 & a\\\\ 4 & 4 \end{vmatrix} =6\cdot4 - a\cdot4 =24 -4a.
Para infinitas soluções precisamos de \Delta=0, portanto
24 -4a = 0 \quad\Longrightarrow\quad a = 6.

Passo 3

Com a=6, a primeira equação fica 6x+6y=12. Para que a segunda equação seja proporcional a essa, deve existir um escalar k tal que
4x+4y = k\,(6x+6y).
Comparando coeficientes em x 4 = 6k, logo k = \tfrac{4}{6} = \tfrac{2}{3}. Então o termo independente b deve satisfazer
b = k \cdot 12 = \tfrac{2}{3}\cdot12 = 8.

Resposta

a = 6 e b = 8.

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