Classifique quanto à ordem e linearidade a equação diferencial
y^prime prime-t y^prime=0
Qual é o método para resolvè-la?

Passo 1

O enunciado pede para classificar a equação diferencial y''-t,y'=0 quanto à ordem e linearidade e indicar qual método usar para resolvê-la.

Passo 2

A equação envolve y'', ou seja é de segunda ordem. Como aparece apenas y' e y'' (sem termos em y isolado nem produtos não lineares de y), ela é uma equação linear homogênea de coeficientes variáveis.

Passo 3

Para resolver, observe que não há termo em y, então podemos fazer a redução de ordem definindo v(t)=y'(t). Substituindo na equação original, temos:
v'(t)-t,v(t)=0

Passo 4

Essa é uma equação de primeira ordem linear homogênea, que podemos resolver por separação de variáveis ou fator integrante.

Passo 5

Resolvendo por separação, escrevemos
v'v=t,,
integramos e achamos v(t)=C1e^t^2/2. Depois basta integrar y'(t)=v(t) para obter y(t).

Resposta

Ordem 2, linear homogênea com coeficientes variáveis. Método: redução de ordem via v=y' e em seguida resolver a equação de 1ª ordem v'-tv=0 por separação de variáveis (ou fator integrante).

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