Utilize resíduos para calcular cada uma das integrais seguintes:
12 pi i ointgamma f(z) d z, onde f(z)=e^i z(sen z)(cos z) e gamma é o quadrilátero com vértices pm 5 i, pm 10, orientado no sentido anti-horário.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral usando resíduos! A integral que precisamos calcular é:
12 pi i ointgamma f(z) , dz,
onde
f(z) = e^i z(sin z)(cos z),
e gamma é um quadrilátero com vértices em pm 5i e pm 10, orientado no sentido anti-horário.
Conteúdo da matéria: Vamos usar o Teorema dos Resíduos, que nos ajuda a calcular integrais complexas ao identificar os resíduos das singularidades de f(z) dentro do caminho de integração gamma.
O que precisamos para resolver:
  1. Identificar as singularidades de f(z) dentro de gamma.
  2. Calcular o resíduo de f(z) em cada uma dessas singularidades.
  3. Somar todos esses resíduos e multiplicar pelo fator 12pi i para encontrar o valor da integral.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as singularidades de f(z). As singularidades ocorrem onde o denominador é zero, ou seja, onde sin z = 0 ou cos z = 0.
Resolvendo sin z = 0:
z = npi, n in Z
Resolvendo cos z = 0:
z = pi2 + npi, n in Z
Portanto, as singularidades de f(z) são nos pontos z = npi e z = pi2 + npi, para todo inteiro n.

Passo 3

Agora, precisamos identificar quais dessas singularidades estão dentro do contorno gamma, que é um quadrilátero com vértices em pm 5i e pm 10.
Isso significa que estamos considerando no plano complexo todos os z = x + iy tais que -10 <= x <= 10 e -5 <= y <= 5.
Vamos listar as singularidades z = npi e z = pi2 + npi que satisfazem essas condições.
Primeiro, calculemos os valores de n que nos dão x no intervalo [-10, 10]:
Para z = npi:
-10 <= npi <= 10 implies -10pi <= n <= 10pi approx -3.18 <= n <= 3.18
Como n é inteiro, os valores possíveis são n = -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3.
Para z = pi2 + npi:
-10 <= pi2 + npi <= 10 implies -10 + pi2pi <= n <= 10 - pi2pi approx -3.59 <= n <= 3.04
Portanto, os valores de n são n = -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3.

Passo 4

Agora, vamos listar todas as singularidades dentro de gamma:
Para z = npi:
z = -3pi, -2pi, -pi, 0, pi, 2pi, 3pi
Para z = pi2 + npi:
z = -5pi2, -3pi2, -pi2, pi2, 3pi2, 5pi2, 7pi2
Agora, vamos verificar quais desses valores estão dentro do intervalo [-10, 10] para a parte real e [-5, 5] para a parte imaginária.
Por exemplo, z = 0 está dentro, z = pi approx 3.14 também está dentro, e assim por diante.
Portanto, todas essas singularidades estão dentro do contorno gamma.

Passo 5

Agora, precisamos calcular o resíduo de f(z) em cada uma dessas singularidades.
A função f(z) = e^i zsin z cos z tem singularidades simples, já que tanto sin z quanto cos z possuem zeros simples.
Para uma singularidade simples em z = z0, o resíduo é dado por:
Res(f, z0) = e^i z0sin z0 cos z0 cdot ( 1ddz(sin z cos z) g|z = z0 )
Primeiro, vamos calcular a derivada do denominador sin z cos z:
ddz(sin z cos z) = cos^2 z - sin^2 z
Portanto, o resíduo fica:
Res(f, z0) = e^i z0cos^2 z0 - sin^2 z0

Passo 6

Agora, vamos calcular cos^2 z0 - sin^2 z0. Observamos que:
cos^2 z - sin^2 z = cos(2z)
Portanto, o resíduo simplifica para:
Res(f, z0) = e^i z0cos(2z0)

Passo 7

Vamos agora calcular esse resíduo para cada singularidade z0 dentro de gamma. Lembrando que temos singularidades em:
z = -3pi, -2pi, -pi, 0, pi, 2pi, 3pi,
e
z = -5pi2, -3pi2, -pi2, pi2, 3pi2, 5pi2, 7pi2
Vamos calcular e^i z0cos(2z0) para cada z0:
  1. Para z0 = npi:
cos(2z0) = cos(2npi) = 1,
e^i z0 = e^i npi = (-1)^n
Então,
Res(f, npi) = (-1)^n1 = (-1)^n
  1. Para z0 = pi2 + npi:
cos(2z0) = cos(2(pi2 + npi)) = cos(pi + 2npi) = -1,
e^i z0 = e^i (pi2 + npi) = e^i pi2 cdot e^i npi = i cdot (-1)^n
Então,
Res(f, pi2 + npi) = i cdot (-1)^n-1 = -i cdot (-1)^n

Passo 8

Agora, vamos somar todos os resíduos:
Para z = npi:
Res(f, npi) = (-1)^n,
com n = -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3.
Para z = pi2 + npi:
Res(f, pi2 + npi) = -i cdot (-1)^n,
com n = -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3.
Vamos agora somar todos esses resíduos:
sum Res(f, z0) = sumn=-3^3 (-1)^n + sumn=-3^3 -i cdot (-1)^n
Observamos que:
sumn=-3^3 (-1)^n = (-1)^-3 + (-1)^-2 + dots + (-1)^3 = -1 + 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 = -1,
e
sumn=-3^3 -i cdot (-1)^n = -i cdot (-1)^-3 + dots + -i cdot (-1)^3 = i - i + i - i + i - i + i = i

Passo 9

Finalmente, somando tudo:
sum Res(f, z0) = -1 + i
Como a integral é dada por 12pi i vezes essa soma de resíduos, temos:
12pi i cdot (-1 + i) = -1 + i 2pi i
Vamos simplificar essa expressão multiplicando numerador e denominador por -i:
-1 + i 2pi i cdot -i -i = ( -1)( -i ) + i ( -i ) 2pi (i)( -i ) = i - i^2 2pi (-i^2)
Sabemos que i^2 = -1, então:
i - (-1) 2pi (-(-1)) = i + 1 2pi (1) = 1 + i 2pi

Resposta

A integral é igual a 1 + i2,pi.

Exercícios relacionados