Utilize resíduos para calcular cada uma das integrais seguintes: , onde e é o quadrilátero com vértices , orientado no sentido anti-horário.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral usando resíduos! A integral que precisamos calcular é:
onde
e é um quadrilátero com vértices em e , orientado no sentido anti-horário.
Conteúdo da matéria: Vamos usar o Teorema dos Resíduos, que nos ajuda a calcular integrais complexas ao identificar os resíduos das singularidades de dentro do caminho de integração .
O que precisamos para resolver:
Identificar as singularidades de dentro de .
Calcular o resíduo de em cada uma dessas singularidades.
Somar todos esses resíduos e multiplicar pelo fator para encontrar o valor da integral.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as singularidades de . As singularidades ocorrem onde o denominador é zero, ou seja, onde ou .
Resolvendo :
Resolvendo :
Portanto, as singularidades de são nos pontos e , para todo inteiro .
Passo 3
Agora, precisamos identificar quais dessas singularidades estão dentro do contorno , que é um quadrilátero com vértices em e .
Isso significa que estamos considerando no plano complexo todos os tais que e .
Vamos listar as singularidades e que satisfazem essas condições.
Primeiro, calculemos os valores de que nos dão no intervalo :
Para :
Como é inteiro, os valores possíveis são .
Para :
Portanto, os valores de são .
Passo 4
Agora, vamos listar todas as singularidades dentro de :
Para :
Para :
Agora, vamos verificar quais desses valores estão dentro do intervalo para a parte real e para a parte imaginária.
Por exemplo, está dentro, também está dentro, e assim por diante.
Portanto, todas essas singularidades estão dentro do contorno .
Passo 5
Agora, precisamos calcular o resíduo de em cada uma dessas singularidades.
A função tem singularidades simples, já que tanto quanto possuem zeros simples.
Para uma singularidade simples em , o resíduo é dado por:
Primeiro, vamos calcular a derivada do denominador sin z cos z: