Considere a equação diferencial
2+e^yx+(e^y+yx) y^prime=0
Verifique que a equação (1) não é exata;

Passo 1

O enunciado pede para verificar que a equação diferencial
2 + e^yx + l(e^y + yxr) y' = 0
não é exata. Esse é um tema de equações diferenciais exatas, e para isso precisamos reescrever na forma
M(x,y) + N(x,y),y' = 0
e comparar as derivadas parciais partial M/partial y e partial N/partial x.

Passo 2

Identificamos as funções
M(x,y) = 2 + e^yx,
N(x,y) = e^y + yx

Passo 3

Agora calculamos as derivadas parciais. Primeiro
partial Mpartial y = partialpartial yl(2 + e^yxr) = e^yx,
e em seguida
partial Npartial x = partialpartial xl(e^y + yxr) = 0 - yx^2 = -yx^2

Passo 4

Como
partial Mpartial y = e^yx
e
partial Npartial x = -yx^2,
e essas duas expressões não são iguais para quase nenhum (x,y), concluímos que a equação diferencial não é exata.

Resposta

partial M/partial y = e^y/x neq -y/x^2 = partial N/partial x, portanto a equação não é exata.

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