Classifique quanto ao tipo, ordem e linearidade:
(A) -\frac{d y}{d x}+5 y=e^{x}

Passo 1

O enunciado apresenta a equação
-\tfrac{dy}{dx} + 5y = e^{x}
e pede para classificar o seu tipo (se é ordinária ou parcial), a sua ordem (qual a maior derivada que aparece) e a sua linearidade (se é linear ou não, e se é homogênea ou não).

Passo 2

Para determinar o tipo, reparamos que há derivada de y apenas em relação a uma única variável x. Logo, trata-se de uma equação diferencial ordinária (EDO).

Passo 3

A ordem de uma EDO é a ordem da maior derivada que aparece. Aqui aparece apenas \frac{dy}{dx}, que é de primeira ordem. Portanto, é uma EDO de primeira ordem.

Passo 4

Para avaliar a linearidade, colocamos a equação na forma padrão
\tfrac{dy}{dx} - 5y = -\,e^{x}.
Essa forma é
a_1(x)\,\tfrac{dy}{dx} + a_0(x)\,y = g(x),
com a_1(x)=1, a_0(x)=-5 e g(x)=-e^x. Não há produtos nem potências de y ou de \frac{dy}{dx}, logo a equação é linear. Como g(x)\neq0, ela é não-homogênea. Os coeficientes a_1 e a_0 são constantes, mas isso não altera o fato de ser uma EDO linear não-homogênea.

Resposta

Equação diferencial ordinária de primeira ordem, linear não-homogênea (com coeficientes constantes).

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