Resolva o PVI \left\{\begin{array}{c}\frac{d x}{d y}=\cos (x) \\\ y(0)=2\end{array}\right.
Passo 1
O problema pede a solução do PVI
\frac{d x}{d y} = \cos(x),
com condição inicial x(0)=2. Aqui usamos o método de separação de variáveis, que consiste em colocar todos os termos com x de um lado e todos os termos com y do outro.
Passo 2
Separe as variáveis escrevendo
\frac{1}{\cos(x)}\,dx = dy.
Passo 3
Integre os dois lados. À esquerda temos a integral de \operatorname{sec}(x), e à direita a integral de 1 em relação a y:
\int \operatorname{sec}(x)\,dx = \int 1\,dy \quad\Longrightarrow\quad \ln\bigl|\operatorname{sec}(x)+\tan(x)\bigr| = y + C.
Passo 4
A expressão acima é a solução implícita geral:
\ln\bigl|\operatorname{sec}(x)+\tan(x)\bigr| = y + C.