Resolva o PVI \left\{\begin{array}{c}\frac{d x}{d y}=\cos (x) \\\ y(0)=2\end{array}\right.

Passo 1

O problema pede a solução do PVI
\frac{d x}{d y} = \cos(x),
com condição inicial x(0)=2. Aqui usamos o método de separação de variáveis, que consiste em colocar todos os termos com x de um lado e todos os termos com y do outro.

Passo 2

Separe as variáveis escrevendo
\frac{1}{\cos(x)}\,dx = dy.

Passo 3

Integre os dois lados. À esquerda temos a integral de \operatorname{sec}(x), e à direita a integral de 1 em relação a y:
\int \operatorname{sec}(x)\,dx = \int 1\,dy \quad\Longrightarrow\quad \ln\bigl|\operatorname{sec}(x)+\tan(x)\bigr| = y + C.

Passo 4

A expressão acima é a solução implícita geral:
\ln\bigl|\operatorname{sec}(x)+\tan(x)\bigr| = y + C.

Passo 5

Aplique a condição x(0)=2. Quando y=0, x=2, fica
\ln\bigl|\operatorname{sec}(2)+\tan(2)\bigr| = C.

Passo 6

Substituindo C e exponenciando, vem
\operatorname{sec}(x)+\tan(x) = \bigl(\operatorname{sec}(2)+\tan(2)\bigr)\,e^{y}.
Para isolar x, use a identidade
\operatorname{sec}(x)+\tan(x) = \tan\Bigl(\tfrac{\pi}{4}+\tfrac{x}{2}\Bigr),
ficando
\tan\Bigl(\tfrac{\pi}{4}+\tfrac{x}{2}\Bigr) = \bigl(\operatorname{sec}(2)+\tan(2)\bigr)\,e^{y}.
Daí
\tfrac{\pi}{4}+\tfrac{x}{2} = \arctan\!\bigl((\operatorname{sec}(2)+\tan(2))e^{y}\bigr) \quad\Longrightarrow\quad x = 2\,\arctan\!\bigl((\operatorname{sec}(2)+\tan(2))e^{y}\bigr) - \tfrac{\pi}{2}.

Resposta

x(y) = 2\,\arctan\!\bigl((\operatorname{sec}(2)+\tan(2))\,e^{y}\bigr) \;-\;\frac{\pi}{2}.

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