Classifique e resolva as EDO’s abaixo:
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial na forma de diferencial 1-forma
Vou identificar claramente o que temos:
- Define-se
(coeficiente de ). - Define-se
(coeficiente de ).
O pedido é: classificar (ver se é exata, ou requer fator integrante etc.) e resolver a EDO, ou seja, encontrar a solução geral implícita.
Observações sobre domínio (importante para validade das operações):
- Aparecem termos com divisão por
e por . Logo as operações só fazem sentido quando e . Trabalhamos em regiões onde essas singularidades são evitadas.
Passo 2
Teste de exatidão. A equação
é exata se, num domínio adequado, vale
Vou calcular cada derivada cuidadosamente.
Primeiro, dérivada de
em relação a
. Escrevendo de novo
Derivando termo a termo:
-
- Para
uso a regra do quociente (ou produto): com e ,
Somando,
Agora, dérivada de
em relação a
. Escrevendo
Derivando termo a termo:
- Para
(em ) aplico a regra do quociente: com , , - Para
, derivando em dá
Somando,
Comparando vemos que
Portanto a forma é exata em qualquer região onde as derivadas estão definidas (isto é, para
e
). Bom sinal: podemos buscar uma função potencial.
Passo 3
Definição útil e estratégia de solução. Se a forma é exata existe uma função
tal que
e a solução geral implícita é
para constante
.
Vou encontrar
integrando
em relação a
(tratando
como constante) e depois ajustando com uma função de
.
Integro
:
Termo a termo,
-
- Para
: aqui é constante, então é . Lembrando a fórmula tomando (mas para argumentos reais podemos escrever com desde que ), obtemos
Assim, uma antiderivada em
é
onde
é uma função arbitrária de
(constante de integração "dependente de
").
Passo 4
Determinar
impondo
.
Calculo
:
-
- Para
uso regra da cadeia. Seja . Então Como , . Assim - Finalmente,
.
Somando os termos,
Mas sabemos que isto deve ser igual a
, que é
Comparando os dois lados, vemos imediatamente que
Logo
é constante, digamos
.
Passo 5
Escrever a solução implícita geral. Tomando
e movendo a constante para o outro lado, a solução geral implícita é
onde
é constante arbitrária.
Explicação de validade: essa solução vale nas regiões onde a forma original e as derivadas parciais estão definidas — isto é, onde
e
. Nessas regiões a condição de exatidão foi verificada e portanto existe
contínua.