Classifique e resolva as EDO’s abaixo:
\left(2 \frac{x}{y}-\frac{y}{x^{2}+y^{2}}\right) d x+\left(\frac{x}{x^{2}+y^{2}}-\frac{x^{2}}{y^{2}}\right) d y=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial na forma de diferencial 1-forma
\left(2\frac{x}{y}-\frac{y}{x^{2}+y^{2}}\right)\,dx+\left(\frac{x}{x^{2}+y^{2}}-\frac{x^{2}}{y^{2}}\right)\,dy=0.
Vou identificar claramente o que temos:
  • Define-se M(x,y)=2\frac{x}{y}-\frac{y}{x^{2}+y^{2}} (coeficiente de dx).
  • Define-se N(x,y)=\frac{x}{x^{2}+y^{2}}-\frac{x^{2}}{y^{2}} (coeficiente de dy).
    O pedido é: classificar (ver se é exata, ou requer fator integrante etc.) e resolver a EDO, ou seja, encontrar a solução geral implícita.
Observações sobre domínio (importante para validade das operações):
  • Aparecem termos com divisão por y e por x^{2}+y^{2}. Logo as operações só fazem sentido quando y\neq0 e (x,y)\neq(0,0). Trabalhamos em regiões onde essas singularidades são evitadas.

Passo 2

Teste de exatidão. A equação M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0 é exata se, num domínio adequado, vale
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}.
Vou calcular cada derivada cuidadosamente.
Primeiro, dérivada de M em relação a y. Escrevendo de novo
M(x,y)=2x\,y^{-1}-\frac{y}{x^{2}+y^{2}}.
Derivando termo a termo:
  • \dfrac{\partial}{\partial y}\!\left(2x\,y^{-1}\right)=2x\cdot(-1)\,y^{-2}=-\dfrac{2x}{y^{2}}.
  • Para -\dfrac{y}{x^{2}+y^{2}} uso a regra do quociente (ou produto): com u(y)=y e v(y)=x^{2}+y^{2}, \dfrac{d}{dy}\!\left(-\frac{y}{x^{2}+y^{2}}\right)=-\frac{(1)(x^{2}+y^{2})-y(2y)}{(x^{2}+y^{2})^{2}} =-\frac{x^{2}+y^{2}-2y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}} =-\frac{x^{2}-y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}.
Somando,
\frac{\partial M}{\partial y}=-\frac{2x}{y^{2}}-\frac{x^{2}-y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}.
Agora, dérivada de N em relação a x. Escrevendo
N(x,y)=\frac{x}{x^{2}+y^{2}}-x^{2}y^{-2}.
Derivando termo a termo:
  • Para \dfrac{x}{x^{2}+y^{2}} (em x) aplico a regra do quociente: com u(x)=x, v(x)=x^{2}+y^{2}, \dfrac{\partial}{\partial x}\!\left(\frac{x}{x^{2}+y^{2}}\right) =\frac{(1)(x^{2}+y^{2})-x(2x)}{(x^{2}+y^{2})^{2}} =\frac{y^{2}-x^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}.
  • Para -x^{2}y^{-2}, derivando em x -2x\,y^{-2}=-\dfrac{2x}{y^{2}}.
Somando,
\frac{\partial N}{\partial x}=\frac{y^{2}-x^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}-\frac{2x}{y^{2}} =-\frac{2x}{y^{2}}-\frac{x^{2}-y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}.
Comparando vemos que
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}.
Portanto a forma é exata em qualquer região onde as derivadas estão definidas (isto é, para y\neq0 e (x,y)\neq(0,0)). Bom sinal: podemos buscar uma função potencial.

Passo 3

Definição útil e estratégia de solução. Se a forma é exata existe uma função \Phi(x,y) tal que
\frac{\partial \Phi}{\partial x}=M(x,y),\qquad \frac{\partial \Phi}{\partial y}=N(x,y),
e a solução geral implícita é \Phi(x,y)=C para constante C.
Vou encontrar \Phi integrando M em relação a x (tratando y como constante) e depois ajustando com uma função de y.
Integro M:
M(x,y)=2\frac{x}{y}-\frac{y}{x^{2}+y^{2}}.
Termo a termo,
  • \displaystyle \int 2\frac{x}{y}\,dx = \frac{1}{y}\int 2x\,dx = \frac{1}{y}\,x^{2} = \frac{x^{2}}{y}.
  • Para \displaystyle \int -\frac{y}{x^{2}+y^{2}}\,dx: aqui y é constante, então é -y\int \frac{1}{x^{2}+y^{2}}\,dx. Lembrando a fórmula \int \frac{1}{x^{2}+a^{2}}\,dx=\frac{1}{a}\arctan\!\left(\frac{x}{a}\right)\quad(\text{com }a>0),tomando a=|y| (mas para argumentos reais podemos escrever com y desde que y\neq0), obtemos -y\cdot\frac{1}{y}\arctan\!\left(\frac{x}{y}\right)=-\arctan\!\left(\frac{x}{y}\right).
Assim, uma antiderivada em x é
\Phi(x,y)=\frac{x^{2}}{y}-\arctan\!\left(\frac{x}{y}\right)+h(y),
onde h(y) é uma função arbitrária de y (constante de integração "dependente de y").

Passo 4

Determinar h(y) impondo \partial \Phi/\partial y=N(x,y).
Calculo \partial \Phi/\partial y:
  • \dfrac{\partial}{\partial y}\!\left(\frac{x^{2}}{y}\right)=-\frac{x^{2}}{y^{2}}.
  • Para \dfrac{\partial}{\partial y}\!\left(-\arctan\!\left(\frac{x}{y}\right)\right) uso regra da cadeia. Seja u=\dfrac{x}{y}. Então \frac{d}{dy}\arctan(u)=\frac{1}{1+u^{2}}\cdot\frac{du}{dy}.Como u=x\,y^{-1}, \dfrac{du}{dy}=-\dfrac{x}{y^{2}}. Assim \frac{\partial}{\partial y}\!\left(-\arctan\!\left(\frac{x}{y}\right)\right) =-\frac{1}{1+(x/y)^{2}}\cdot\left(-\frac{x}{y^{2}}\right) =\frac{x}{y^{2}\bigl(1+(x^{2}/y^{2})\bigr)} =\frac{x}{x^{2}+y^{2}}.
  • Finalmente, \dfrac{d}{dy}h(y)=h'(y).
Somando os termos,
\frac{\partial \Phi}{\partial y}=-\frac{x^{2}}{y^{2}}+\frac{x}{x^{2}+y^{2}}+h'(y).
Mas sabemos que isto deve ser igual a N(x,y), que é
N(x,y)=\frac{x}{x^{2}+y^{2}}-\frac{x^{2}}{y^{2}}.
Comparando os dois lados, vemos imediatamente que
h'(y)=0.
Logo h(y) é constante, digamos h(y)=C_{0}.

Passo 5

Escrever a solução implícita geral. Tomando h=C_{0} e movendo a constante para o outro lado, a solução geral implícita é
\frac{x^{2}}{y}-\arctan\!\left(\frac{x}{y}\right)=C,
onde C é constante arbitrária.
Explicação de validade: essa solução vale nas regiões onde a forma original e as derivadas parciais estão definidas — isto é, onde y\neq0 e (x,y)\neq(0,0). Nessas regiões a condição de exatidão foi verificada e portanto existe \Phi contínua.

Resposta

\displaystyle \frac{x^{2}}{y}-\arctan\!\left(\frac{x}{y}\right)=C

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