Classifique e resolva as EDO’s abaixo:
(dica: faça
)
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e fornece a dica
. O que se pede: classificar a EDO e resolver (achar a solução geral). As informações relevantes são:
- A EDO está escrita em termos de
e . - Há a sugestão de usar a substituição
, ou seja . - Não há condições iniciais fornecidas, então buscamos a solução geral com constante arbitrária.
Passo 2
Interpretando a forma do lado direito:
Portanto o lado direito depende apenas de
(é função de
). Isso caracteriza a equação como uma equação de primeira ordem homogênea (aqui “homogênea” no sentido de que
). A dica
é justamente a substituição padrão para esse tipo de equação, porque transforma a EDO numa equação em
e
mais simples.
Passo 3
Faço a substituição sugerida: seja
, logo
. Derivo ambos os lados em relação a
(regra do produto):
Substituo na EDO original. Lado direito era
. Assim:
Rearranjando:
Passo 4
Agora separo variáveis: escrevo a equação na forma
. Ou seja
Para integrar o lado esquerdo, completo o quadrado no denominador:
Defina
. Então
e o integrando fica
. Usa-se a fórmula padrão
Aqui
. Então
Passo 5
Voltando a
(lembre que
), a integração dá
onde a integral do lado direito é
. Podemos simplificar o argumento do arco-tangente:
Portanto uma forma explícita da solução implícita é
Passo 6
Volto à variável original
usando
. Substituindo:
Podemos isolar a função arco-tangente e aplicar a tangente para obter uma forma explícita. Definindo
por
, obtemos
então
Isolando
:
ou finalmente
que é a forma explícita da solução geral (onde
é constante arbitrária real).
Resposta
A equação é homogênea de primeira ordem (o lado direito depende apenas de
).\n
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