Classifique e resolva as EDO’s abaixo:
\frac{d y}{d x}=\frac{x^{2}+y^{2} y}{x^{2}} (dica: faça v=\frac{y}{x} )

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
\frac{dy}{dx}=\frac{x^{2}+y^{2}}{x^{2}}
e fornece a dica \,v=\dfrac{y}{x}\,. O que se pede: classificar a EDO e resolver (achar a solução geral). As informações relevantes são:
  • A EDO está escrita em termos de x e y.
  • Há a sugestão de usar a substituição \,v=\dfrac{y}{x}\,, ou seja y=vx.
  • Não há condições iniciais fornecidas, então buscamos a solução geral com constante arbitrária.

Passo 2

Interpretando a forma do lado direito:
\frac{x^{2}+y^{2}}{x^{2}=}=1+\frac{y^{2}}{x^{2}}.
Portanto o lado direito depende apenas de \dfrac{y}{x} (é função de \dfrac{y}{x}). Isso caracteriza a equação como uma equação de primeira ordem homogênea (aqui “homogênea” no sentido de que \dfrac{dy}{dx}=f\!\big(\tfrac{y}{x}\big)). A dica \,v=\dfrac{y}{x}\, é justamente a substituição padrão para esse tipo de equação, porque transforma a EDO numa equação em v e x mais simples.

Passo 3

Faço a substituição sugerida: seja \,v=\dfrac{y}{x}\,, logo y=vx. Derivo ambos os lados em relação a x (regra do produto):
\frac{dy}{dx}=v+x\frac{dv}{dx}.
Substituo na EDO original. Lado direito era 1+\big(\tfrac{y}{x}\big)^{2}=1+v^{2}. Assim:
v+x\frac{dv}{dx}=1+v^{2}.
Rearranjando:
x\frac{dv}{dx}=1+v^{2}-v.

Passo 4

Agora separo variáveis: escrevo a equação na forma \dfrac{dv}{1+v^{2}-v}=\dfrac{dx}{x}. Ou seja
\frac{dv}{v^{2}-v+1}=\frac{dx}{x}.
Para integrar o lado esquerdo, completo o quadrado no denominador:
v^{2}-v+1=\left(v-\tfrac{1}{2}\right)^{2}+\tfrac{3}{4}.
Defina u=v-\tfrac{1}{2}. Então du=dv e o integrando fica \dfrac{1}{u^{2}+(\tfrac{\sqrt{3}}{2})^{2}}. Usa-se a fórmula padrão
\int \frac{du}{u^{2}+a^{2}}=\frac{1}{a}\arctan\!\left(\frac{u}{a}\right)+C.
Aqui a=\tfrac{\sqrt{3}}{2}. Então
\int\frac{dv}{v^{2}-v+1}=\int\frac{du}{u^{2}+(\tfrac{\sqrt{3}}{2})^{2}} =\frac{1}{\tfrac{\sqrt{3}}{2}}\arctan\!\left(\frac{u}{\tfrac{\sqrt{3}}{2}}\right)+C =\frac{2}{\sqrt{3}}\arctan\!\left(\frac{2u}{\sqrt{3}}\right)+C.

Passo 5

Voltando a v (lembre que u=v-\tfrac{1}{2}), a integração dá
\frac{2}{\sqrt{3}}\arctan\!\left(\frac{2\big(v-\tfrac{1}{2}\big)}{\sqrt{3}}\right)=\ln|x|+C,
onde a integral do lado direito é \int \dfrac{dx}{x}=\ln|x|+C. Podemos simplificar o argumento do arco-tangente:
\frac{2\big(v-\tfrac{1}{2}\big)}{\sqrt{3}}=\frac{2v-1}{\sqrt{3}}.
Portanto uma forma explícita da solução implícita é
\frac{2}{\sqrt{3}}\arctan\!\left(\frac{2v-1}{\sqrt{3}}\right)=\ln|x|+C.

Passo 6

Volto à variável original y usando v=\dfrac{y}{x}. Substituindo:
\frac{2}{\sqrt{3}}\arctan\!\left(\frac{2\frac{y}{x}-1}{\sqrt{3}}\right)=\ln|x|+C.
Podemos isolar a função arco-tangente e aplicar a tangente para obter uma forma explícita. Definindo C_1 por C_1=\dfrac{\sqrt{3}}{2}C, obtemos
\arctan\!\left(\frac{2\frac{y}{x}-1}{\sqrt{3}}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}\ln|x|+C_1,
então
\frac{2\frac{y}{x}-1}{\sqrt{3}}=\tan\!\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\ln|x|+C_1\right).
Isolando y:
\frac{y}{x}=\frac{1}{2}\Big(1+\sqrt{3}\tan\!\big(\tfrac{\sqrt{3}}{2}\ln|x|+C_1\big)\Big),
ou finalmente
y=\frac{x}{2}\Big(1+\sqrt{3}\tan\!\big(\tfrac{\sqrt{3}}{2}\ln|x|+C_1\big)\Big),
que é a forma explícita da solução geral (onde C_1 é constante arbitrária real).

Resposta

A equação é homogênea de primeira ordem (o lado direito depende apenas de \tfrac{y}{x}).\n \frac{2}{\sqrt{3}}\arctan\!\left(\frac{2\frac{y}{x}-1}{\sqrt{3}}\right)=\ln|x|+C\n y=\frac{x}{2}\Big(1+\sqrt{3}\tan\!\big(\tfrac{\sqrt{3}}{2}\ln|x|+C_1\big)\Big)

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