Classifique e resolva as EDO’s abaixo:
x y^{\prime}=y+x e^{\frac{y}{x}} (dica: faça v=\frac{y}{x})

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: classificar a equação diferencial e resolvê-la. A equação dada é
x\,y' = y + x e^{\frac{y}{x}}.
Informações relevantes fornecidas:
  • É uma equação diferencial ordinária de primeira ordem (aparece apenas y').
  • O termo não-linear aparece em e^{\frac{y}{x}}, ou seja, a parte não-linear depende apenas da razão \frac{y}{x}.
    As tarefas: (1) dizer a classe/tipo da EDO; (2) encontrar a solução geral y(x).

Passo 2

Classificação: é uma equação de primeira ordem, não linear. Observação importante (o que nos dá a pista do método): o membro direito dividido por x depende apenas de \dfrac{y}{x},
\frac{y}{x} + e^{\frac{y}{x}},
então a equação é do tipo que admite a substituição v=\dfrac{y}{x} (às vezes chamada de equação homogênea no sentido de dependência por \dfrac{y}{x} ou "reduzível por y= vx").

Passo 3

Motivação da substituição: quando a equação pode ser escrita com as variáveis combinadas na forma \dfrac{y}{x}, é natural tentar y = v x com v função de x. Isso transforma a equação em uma em v que muitas vezes fica separável.
Definimos
v = \frac{y}{x}.

Passo 4

Derivada de y em termos de v: como y = v(x)\,x, usando regra do produto,
y' = v + x v',
onde v'=\dfrac{dv}{dx}. Aqui explicando: v é função de x, então ao derivar v(x)\cdot x obtemos v'(x)\cdot x + v(x).

Passo 5

Substituímos y e y' na equação original:
x\big(v + x v'\big) = v x + x e^{v}.
Desenvolvendo o lado esquerdo:
x v + x^2 v' = v x + x e^{v}.
Agora cancelamos x v em ambos os lados (eles aparecem iguais),
x^2 v' = x e^{v}.
Assumindo x\neq 0 (caso x=0 precisa análise separada), dividimos por x:
x v' = e^{v}.

Passo 6

A equação para v é separável. Escrevemos v' = \dfrac{dv}{dx}, então
\frac{dv}{dx} = \frac{e^{v}}{x}.
Separamos as variáveis v e x:
e^{-v}\,dv = \frac{dx}{x}.
Explicação breve: multiplicamos ambos os lados por e^{-v} e por dx para juntar todos os v de um lado e x do outro.

Passo 7

Integramos ambos os lados:
\int e^{-v}\,dv = \int \frac{dx}{x}.
Cálculo das integrais:
\int e^{-v}\,dv = -e^{-v} + C_1, \qquad \int \frac{dx}{x} = \ln|x| + C_2.
Podemos juntar as constantes num só C. Assim, tomando a integração completa,
- e^{-v} = \ln|x| + C,
onde C é constante arbitrária real.

Passo 8

Isolamos v. Primeiro multiplicamos por -1:
e^{-v} = -\ln|x| - C.
Renomeando a constante: defina K = -C. Então
e^{-v} = K - \ln|x|.
Para poder aplicar o logaritmo precisamos que o lado direito seja positivo, isto é K - \ln|x|>0; isso determina a região de definição da solução (discutimos domínio ao final). Tomando -\ln dos dois lados,
v = -\ln\!\big(K - \ln|x|\big).

Passo 9

Voltando à variável original y, lembrando que v=\dfrac{y}{x}, obtemos a solução geral:
\frac{y}{x} = -\ln\!\big(K - \ln|x|\big).
Multiplicando por x,
y(x) = -\,x\,\ln\!\big(K - \ln|x|\big),
onde K é constante arbitrária real. Observações sobre domínio e constantes:
  • É necessário x\neq 0.
  • Além disso precisa valer K - \ln|x|>0 para que o argumento do \ln seja positivo (ou alternativamente pode trabalhar-se com números complexos, mas em contexto real tomamos essa restrição).
  • A constante K incorpora qualquer constante de integração diferente; em provas é comum escrever C em vez de K.

Resposta

Classificação: equação diferencial ordinária de primeira ordem, não linear, redutível pela substituição v=\dfrac{y}{x} (dependência por \dfrac{y}{x}).
Solução geral: y(x) = -\,x\,\ln\!\big(C - \ln|x|\big), onde C é constante arbitrária e deve valer C-\ln|x|>0 para solução real.

Exercícios relacionados