Classifique e resolva as EDO’s abaixo:
(dica: faça
)
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: classificar a equação diferencial e resolvê-la. A equação dada é
Informações relevantes fornecidas:
- É uma equação diferencial ordinária de primeira ordem (aparece apenas
). - O termo não-linear aparece em
, ou seja, a parte não-linear depende apenas da razão .
As tarefas: (1) dizer a classe/tipo da EDO; (2) encontrar a solução geral.
Passo 2
Classificação: é uma equação de primeira ordem, não linear. Observação importante (o que nos dá a pista do método): o membro direito dividido por
depende apenas de
,
então a equação é do tipo que admite a substituição
(às vezes chamada de equação homogênea no sentido de dependência por
ou "reduzível por
").
Passo 3
Motivação da substituição: quando a equação pode ser escrita com as variáveis combinadas na forma
, é natural tentar
com
função de
. Isso transforma a equação em uma em
que muitas vezes fica separável.
Definimos
Passo 4
Derivada de
em termos de
: como
, usando regra do produto,
onde
. Aqui explicando:
é função de
, então ao derivar
obtemos
.
Passo 5
Substituímos
e
na equação original:
Desenvolvendo o lado esquerdo:
Agora cancelamos
em ambos os lados (eles aparecem iguais),
Assumindo
(caso
precisa análise separada), dividimos por
:
Passo 6
A equação para
é separável. Escrevemos
, então
Separamos as variáveis
e
:
Explicação breve: multiplicamos ambos os lados por
e por
para juntar todos os
de um lado e
do outro.
Passo 7
Integramos ambos os lados:
Cálculo das integrais:
Podemos juntar as constantes num só
. Assim, tomando a integração completa,
onde
é constante arbitrária real.
Passo 8
Isolamos
. Primeiro multiplicamos por
:
Renomeando a constante: defina
. Então
Para poder aplicar o logaritmo precisamos que o lado direito seja positivo, isto é
; isso determina a região de definição da solução (discutimos domínio ao final). Tomando
dos dois lados,
Passo 9
Voltando à variável original
, lembrando que
, obtemos a solução geral:
Multiplicando por
,
onde
é constante arbitrária real. Observações sobre domínio e constantes:
- É necessário
. - Além disso precisa valer
para que o argumento do seja positivo (ou alternativamente pode trabalhar-se com números complexos, mas em contexto real tomamos essa restrição). - A constante
incorpora qualquer constante de integração diferente; em provas é comum escrever em vez de .
Resposta
Classificação: equação diferencial ordinária de primeira ordem, não linear, redutível pela substituição
(dependência por
).
Solução geral: , onde
é constante arbitrária e deve valer
para solução real.
Solução geral: