Classifique e resolva as EDO’s abaixo:
x d y-y d x=(x y)^{\frac{1}{2}} d x (dica: faça v=\frac{y}{x})

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
x\,dy - y\,dx = (x y)^{\tfrac{1}{2}}\,dx
e sugere a substituição v=\dfrac{y}{x}. O pedido é: classificar e resolver a EDO (achar a solução geral e observar soluções singulares/domínios). Informações úteis dadas:
  • A variável dependente é y e a independente é x.
  • O enunciado já indica que a mudança v=\dfrac{y}{x} é conveniente.
  • Note que vamos precisar excluir x=0 quando fizermos a troca v=y/x.

Passo 2

Coloco a EDO em forma dy/dx para ver melhor como proceder. Dividindo a equação por dx:
x\frac{dy}{dx}-y=\sqrt{x y}.
Isolo \dfrac{dy}{dx}:
\frac{dy}{dx}=\frac{y}{x}+\frac{\sqrt{x y}}{x}.
Aqui ainda não simplifiquei \dfrac{\sqrt{x y}}{x} porque é preciso cuidar do sinal (aparecerá valor absoluto). Continuo com a substituição sugerida.

Passo 3

Faço a substituição y=vx. Então
dy = v\,dx + x\,dv.
Substituindo na forma diferencial original x\,dy - y\,dx dá:
x(v\,dx + x\,dv) - v x\,dx = x^2\,dv.
No lado direito, \sqrt{x y}=\sqrt{v x^2}=\lvert x\rvert\sqrt{v} (explico: \sqrt{x^2}= \lvert x\rvert; por isso aparece o valor absoluto). Portanto a equação original vira
x^2\,dv = \lvert x\rvert\sqrt{v}\,dx.

Passo 4

Divido ambos os lados por x^2 (lembrando x\neq0):
dv = \frac{\lvert x\rvert}{x^2}\sqrt{v}\,dx.
Escrevo \dfrac{\lvert x\rvert}{x^2}=\dfrac{\operatorname{sgn}(x)}{x}, onde \operatorname{sgn}(x) é +1 se x>0 e -1 se x<0. Assim
\frac{dv}{dx}=\frac{\operatorname{sgn}(x)}{x}\sqrt{v}.
Logo precisamos tratar separadamente os dois casos de sinal de x.

Passo 5

Caso x>0 (então \lvert x\rvert=x e \operatorname{sgn}(x)=1):
\frac{dv}{dx}=\frac{\sqrt{v}}{x}.
Isto é separável. Reescrevo separando v e x:
\frac{dv}{\sqrt{v}}=\frac{dx}{x}.
Agora integro ambos os lados. Faço um lembrete de fórmula: para a\neq-1, \displaystyle\int v^{a}\,dv=\dfrac{v^{a+1}}{a+1}. Aqui a=-\tfrac{1}{2}, então
\int v^{-1/2}\,dv = 2\sqrt{v}.
Do lado direito \int \dfrac{dx}{x}=\ln x (para x>0). Assim a integração dá
2\sqrt{v}=\ln x + C,
onde C é constante de integração. Isolo \sqrt{v} e elevo ao quadrado:
\sqrt{v}=\frac{\ln x + C}{2}\quad\Rightarrow\quad v=\left(\frac{\ln x + C}{2}\right)^{2}.
Volto à variável y usando y=vx:
y = x\left(\frac{\ln x + C}{2}\right)^{2},\qquad (x>0).
Pode-se reescrever o parâmetro constante: y = x\left(\tfrac{1}{2}\ln x + C_1\right)^2 com C_1 arbitrário.

Passo 6

Caso x<0 (então \lvert x\rvert=-x e \operatorname{sgn}(x)=-1):
\frac{dv}{dx}=-\frac{\sqrt{v}}{x}.
Separando:
\frac{dv}{\sqrt{v}}=-\frac{dx}{x}.
Integro: o lado esquerdo dá 2\sqrt{v} como antes; o direito dá -\ln\lvert x\rvert (uso \ln\lvert x\rvert para o log quando x<0). Assim
2\sqrt{v} = -\ln\lvert x\rvert + C.
Ou seja
\sqrt{v}=\frac{C-\ln\lvert x\rvert}{2},\quad v=\left(\frac{C-\ln\lvert x\rvert}{2}\right)^2.
Voltando a y:
y = x\left(\frac{C-\ln\lvert x\rvert}{2}\right)^{2},\qquad (x<0).
(ou novamente renomeando a constante, escrever y=x\left(\tfrac{1}{2}(-\ln\lvert x\rvert)+C_2\right)^2.)

Passo 7

Não esquecer a solução singular que ficou fora ao dividir por \sqrt{v}: se v\equiv 0 então y\equiv 0. Verifico: para y\equiv 0 a equação original dá 0=0, logo y\equiv 0 é solução válida em todo domínio.
Também é necessário observar a condição de realidade: como apareceu \sqrt{v}, exige-se v=\dfrac{y}{x}\ge 0 para soluções reais na forma usada. Assim as soluções encontradas valem nas faixas onde y/x\ge0 e x\neq0; o enunciado deve indicar o domínio aceitável dependendo das condições iniciais.

Resposta

y = x\left(\dfrac{\ln x + C}{2}\right)^{2},\qquad x>0\n y = x\left(\dfrac{C - \ln\lvert x\rvert}{2}\right)^{2},\qquad x<0\n y\equiv 0

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