Classifique e resolva as EDO’s abaixo:
(dica: faça
)
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e sugere a substituição
. O pedido é: classificar e resolver a EDO (achar a solução geral e observar soluções singulares/domínios). Informações úteis dadas:
- A variável dependente é
e a independente é . - O enunciado já indica que a mudança
é conveniente. - Note que vamos precisar excluir
quando fizermos a troca .
Passo 2
Coloco a EDO em forma
para ver melhor como proceder. Dividindo a equação por
:
Isolo
:
Aqui ainda não simplifiquei
porque é preciso cuidar do sinal (aparecerá valor absoluto). Continuo com a substituição sugerida.
Passo 3
Faço a substituição
. Então
Substituindo na forma diferencial original
dá:
No lado direito,
(explico:
; por isso aparece o valor absoluto). Portanto a equação original vira
Passo 4
Divido ambos os lados por
(lembrando
):
Escrevo
, onde
é
se
e
se
. Assim
Logo precisamos tratar separadamente os dois casos de sinal de
.
Passo 5
Caso
(então
e
):
Isto é separável. Reescrevo separando
e
:
Agora integro ambos os lados. Faço um lembrete de fórmula: para
,
. Aqui
, então
Do lado direito
(para
). Assim a integração dá
onde
é constante de integração. Isolo
e elevo ao quadrado:
Volto à variável
usando
:
Pode-se reescrever o parâmetro constante:
com
arbitrário.
Passo 6
Caso
(então
e
):
Separando:
Integro: o lado esquerdo dá
como antes; o direito dá
(uso
para o log quando
). Assim
Ou seja
Voltando a
:
(ou novamente renomeando a constante, escrever
.)
Passo 7
Não esquecer a solução singular que ficou fora ao dividir por
: se
então
. Verifico: para
a equação original dá
, logo
é solução válida em todo domínio.
Também é necessário observar a condição de realidade: como apareceu
, exige-se
para soluções reais na forma usada. Assim as soluções encontradas valem nas faixas onde
e
; o enunciado deve indicar o domínio aceitável dependendo das condições iniciais.