Classifique e resolva (quando possível) cada um dos sistemas abaixo: g(g)\left\{\begin{array}{c}x-2 y+3 z+t=10 \\\ x-y-2 t=-9 \\\\ 2 x-4 y+7 z=15 \\\ y+z-t=1\end{array}\right.
Passo 1
O enunciado pede a classificação e a resolução do sistema linear (vou escrever as equações exatamente como dadas):
São quatro equações lineares nas incógnitas acima.
A tarefa é (1) classificar o sistema (incompatível, compatível determinado ou compatível indeterminado) e (2) resolver quando for possível.]
Passo 2
Vou organizar o sistema na forma de matriz aumentada para aplicar eliminação de Gauss (isso facilita ver pivôs e fazer operações elementares). A matriz aumentada (coeficientes à esquerda, termos constantes à direita) é
Breve explicação da ideia: eliminação de Gauss consiste em usar operações entre linhas (somar múltiplos de uma linha em outra, trocar linhas ou multiplicar por escalar não nulo) para transformar a matriz numa forma triangular superior (ou forma escalonada reduzida). Isso mostra pivôs (líderes) e permite resolver por substituição regressiva.]
Passo 3
Começo a eliminar usando a primeira linha como pivô para zerar as entradas abaixo na coluna de x.
Da última linha obtemos diretamente 10t=40. Então:
t=\frac{40}{10}=4.
Explicação: quando uma linha da forma (0,0,0,a\mid b) aparece, ela representa a equação a t = b. Se a\neq0 então isso determina t. Se tivéssemos 0= \text{constante não zero}ã seria inconsistente.
Passo 7
Agora faço substituição regressiva (back-substitution) para encontrar as outras incógnitas:
Terceira linha: 1\cdot z -2t = -5. Substituindo t=4:
z - 2\cdot4 = -5 \quad\Rightarrow\quad z -8 = -5 \quad\Rightarrow\quad z = 3.
Segunda linha: 1\cdot y -3z -3t = -19. Substituindo z=3,\;t=4:
y -3\cdot3 -3\cdot4 = -19 \quad\Rightarrow\quad y -9 -12 = -19 \quad\Rightarrow\quad y -21 = -19 \quad\Rightarrow\quad y = 2.
Primeira linha: x -2y +3z + t = 10. Substituindo y=2,\;z=3,\;t=4:
x -2\cdot2 +3\cdot3 +4 = 10 \quad\Rightarrow\quad x -4 +9 +4 = 10 \quad\Rightarrow\quad x +9 = 10 \quad\Rightarrow\quad x = 1.
Passo 8
Classificação do sistema com base nas manipulações: a forma triangular mostrou pivôs nas 4 colunas de incógnitas (x,y,z,t), ou seja, o posto (rank) da matriz dos coeficientes é 4. O posto da matriz aumentada também é 4. Como o posto é igual ao número de incógnitas e as equações são consistentes, o sistema é compatível determinado (tem exatamente uma solução).
Pequena revisão didática final: quando o número de pivôs (linhas não nulas na forma escalonada) iguala o número de variáveis, há solução única. Se o posto fosse menor que o número de variáveis, teríamos infinitas soluções (graus de liberdade). Se o posto da matriz aumentada fosse maior que o posto da matriz de coeficientes, o sistema seria incompatível.