Calcule:
A=\operatorname{det}\left(\begin{array}{lll}2 & 3 & 1 \\\\ 5 & 3 & 1 \\\\ 0 & 1 & 2\end{array}\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular o determinante
A=\det\begin{pmatrix}2 & 3 & 1 \\[4pt] 5 & 3 & 1 \\[4pt] 0 & 1 & 2\end{pmatrix}.
Informações dadas (todos os dados estão na matriz acima):
  • Primeira linha: 2,3,1.
  • Segunda linha: 5,3,1.
  • Terceira linha: 0,1,2.
    O que se pede: encontrar o valor numérico de A.]

Passo 2

Vou explicar uma maneira direta e prática de calcular o determinante de uma matriz 3\times3: a regra de Sarrus. É uma receita útil para provas porque é rápida para matrizes 3\times3.
A regra de Sarrus diz:
  • Escreve-se a matriz e repete-se as duas primeiras colunas à direita.
  • Soma-se o produto das três diagonais que vão da esquerda superior para a direita inferior (essas são as “diagonais principais”).
  • Soma-se o produto das três diagonais que vão da esquerda inferior para a direita superior (essas são as “diagonais secundárias”).
  • O determinante é a diferença: (soma das diagonais principais) − (soma das diagonais secundárias).
Vou aplicar exatamente isso passo a passo.

Passo 3

Escrevendo a matriz e repetindo as duas primeiras colunas à direita (isso é só para aplicar Sarrus):
\begin{pmatrix} 2 & 3 & 1 & 2 & 3\\[4pt] 5 & 3 & 1 & 5 & 3\\[4pt] 0 & 1 & 2 & 0 & 1 \end{pmatrix}.
Agora identificamos as três diagonais principais (de cima-esquerda para baixo-direita) e calculamos o produto de cada uma.]

Passo 4

Produtos das diagonais principais:
  • Primeira diagonal: 2\cdot 3\cdot 2. Calculo: 2\cdot 3=6, 6\cdot 2=12. Então o primeiro produto é 12.
  • Segunda diagonal: 3\cdot 1\cdot 0. Calculo: 3\cdot 1=3, 3\cdot 0=0. Então o segundo produto é 0.
  • Terceira diagonal: 1\cdot 5\cdot 1. Calculo: 1\cdot 5=5, 5\cdot 1=5. Então o terceiro produto é 5.
Somando as três diagonais principais:
\text{soma\_principais}=12+0+5=17.

Passo 5

Agora calculamos os produtos das três diagonais secundárias (de baixo-esquerda para cima-direita).
Produtos das diagonais secundárias:
  • Primeira diagonal secundária: 0\cdot 3\cdot 1. Calculo: 0\cdot 3=0, 0\cdot 1=0. Produto = 0.
  • Segunda diagonal secundária: 1\cdot 1\cdot 2. Calculo: 1\cdot 1=1, 1\cdot 2=2. Produto = 2.
  • Terceira diagonal secundária: 2\cdot 5\cdot 3. Calculo: 2\cdot 5=10, 10\cdot 3=30. Produto = 30.
Somando as três diagonais secundárias:
\text{soma\_secundarias}=0+2+30=32.

Passo 6

Aplicando a regra de Sarrus: o determinante é a diferença entre as somas calculadas:
A=\text{soma\_principais}-\text{soma\_secundarias}=17-32.
Fazendo a subtração:
17-32=-15.

Passo 7

Resumo e checagem rápida (gentil incentivo: tá indo bem, a conta bateu direitinho). Os cálculos intermediários foram:
  • diagonais principais somaram 17;
  • diagonais secundárias somaram 32;
  • diferença deu -15.

Resposta

-15

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