Classifique e resolva (quando possível) cada um dos sistemas abaixo:
(w)\left\{\begin{array}{c}x-y+z+t=4 \\\\ 2 x-y-z=-3 \\\ x-2 y+t=1 \\\\ 5 x+z-t=4\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para classificar e resolver (quando possível) o sistema
(w)\begin{cases} x-y+z+t=4,\\[4pt] 2x-y-z= -3,\\[4pt] x-2y+t=1,\\[4pt] 5x+z-t=4. \end{cases}
Informações dadas:
  • São quatro incógnitas: x,\\ y,\\ z,\\ t.
  • São quatro equações lineares entre essas incógnitas.
    O que se pede:
  • Determinar a classificação do sistema (compatível/indeterminado/incompatível; se houver solução única, informar).
  • Encontrar a solução quando o sistema for compatível.]

Passo 2

Estratégia (explicação didática rápida): vamos usar eliminação por linhas (método de eliminação de Gauss). A ideia é escrever a matriz aumentada do sistema e aplicar operações elementares nas linhas (somar múltiplos de uma linha a outra, trocar linhas ou multiplicar uma linha por escalar não nulo) para obter uma forma triangular superior, o que permite resolver por substituição regressiva. Essas operações não mudam o conjunto de soluções.
Escrevendo a matriz aumentada com ordem de variáveis (x,y,z,t):
\left[\begin{array}{rrrr|r} 1 & -1 & 1 & 1 & 4\\[4pt] 2 & -1 & -1 & 0 & -3\\[4pt] 1 & -2 & 0 & 1 & 1\\[4pt] 5 & 0 & 1 & -1 & 4 \end{array}\right].]

Passo 3

Fazer zeros abaixo do pivô da primeira coluna (usar a primeira linha como pivô).
Aplicar as operações (todas preservam o conjunto solução):
\begin{aligned} R_2 &\leftarrow R_2-2R_1,\\[4pt] R_3 &\leftarrow R_3-R_1,\\[4pt] R_4 &\leftarrow R_4-5R_1. \end{aligned}
Calculando cada nova linha:
\begin{aligned} R_2&: \\ (2,-1,-1,0 \mid -3) -2(1,-1,1,1\mid 4)=(0,1,-3,-2\mid -11),\\[4pt] R_3&: \\ (1,-2,0,1\mid 1)-(1,-1,1,1\mid 4)=(0,-1,-1,0\mid -3),\\[4pt] R_4&: \\ (5,0,1,-1\mid 4)-5(1,-1,1,1\mid 4)=(0,5,-4,-6\mid -16). \end{aligned}
A matriz fica
\left[\begin{array}{rrrr|r} 1 & -1 & 1 & 1 & 4\\[4pt] 0 & 1 & -3 & -2 & -11\\[4pt] 0 & -1 & -1 & 0 & -3\\[4pt] 0 & 5 & -4 & -6 & -16 \end{array}\right].]

Passo 4

Fazer zeros abaixo do pivô da segunda coluna (usar agora R_2 como pivô).
Operações:
\begin{aligned} R_3 &\leftarrow R_3+R_2,\\[4pt] R_4 &\leftarrow R_4-5R_2. \end{aligned}
Calculando:
\begin{aligned} R_3&: \\ (0,-1,-1,0\mid -3)+(0,1,-3,-2\mid -11)=(0,0,-4,-2\mid -14),\\[4pt] R_4&: \\ (0,5,-4,-6\mid -16)-5(0,1,-3,-2\mid -11)=(0,0,11,4\mid 39). \end{aligned}
Agora a matriz é
\left[\begin{array}{rrrr|r} 1 & -1 & 1 & 1 & 4\\[4pt] 0 & 1 & -3 & -2 & -11\\[4pt] 0 & 0 & -4 & -2 & -14\\[4pt] 0 & 0 & 11 & 4 & 39 \end{array}\right].]

Passo 5

Fazer zero abaixo do pivô da terceira coluna (usar R_3 como pivô). A terceira linha é (0,0,-4,-2\mid -14) — o pivô é -4 na coluna de z.
Para zerar o elemento 11 em R_4 na coluna de z, faça
R_4 \leftarrow R_4 + \frac{11}{4}R_3.
Detalhando o cálculo:
\frac{11}{4}R_3 = \left(0,0,-11,-\frac{11}{2}\mid -\frac{77}{2}\right).
Somando a R_4=(0,0,11,4\mid 39) obtemos
R_4=(0,0,0,-\tfrac{3}{2}\mid \tfrac{1}{2}).
Para simplificar, multiplicar R_4 por -\tfrac{2}{3} (operação válida) para obter pivô 1 em t:
R_4 \leftarrow -\tfrac{2}{3}R_4 = (0,0,0,1\mid -\tfrac{1}{3}).
Agora a matriz está na forma triangular superior:
\left[\begin{array}{rrrr|r} 1 & -1 & 1 & 1 & 4\\[4pt] 0 & 1 & -3 & -2 & -11\\[4pt] 0 & 0 & -4 & -2 & -14\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 1 & -\tfrac{1}{3} \end{array}\right].]

Passo 6

Resolver por substituição regressiva (já temos uma equação apenas em t).
Da última linha:
t = -\tfrac{1}{3}.
Substituir em R_3 (linha 3): -4z -2t = -14. Escrever e resolver:
-4z -2t = -14 \quad\Longrightarrow\quad -4z = -14 + 2t.
Como t=-\tfrac{1}{3},
-4z = -14 + 2\Bigl(-\tfrac{1}{3}\Bigr) = -14 -\tfrac{2}{3} = -\tfrac{44}{3}.
Logo
z = \frac{-\tfrac{44}{3}}{-4} = \frac{44}{12} = \tfrac{11}{3}.
Agora usar R_2: y -3z -2t = -11. Substituindo z e t:
y = -11 + 3z + 2t = -11 + 3\Bigl(\tfrac{11}{3}\Bigr) + 2\Bigl(-\tfrac{1}{3}\Bigr) = -11 + 11 -\tfrac{2}{3} = -\tfrac{2}{3}.
Finalmente R_1: x - y + z + t = 4. Então
x = 4 + y - z - t.
Substituindo y,z,t:
y - z - t = -\tfrac{2}{3} - \tfrac{11}{3} -\Bigl(-\tfrac{1}{3}\Bigr) = -\tfrac{12}{3} = -4,
logo x = 4 + (-4) = 0.

Passo 7

Classificação do sistema: obtivemos um pivô em cada coluna correspondente às incógnitas ( x,y,z,t), e as operações não geraram contradição (como 0= alguma constante não nula). Portanto o posto da matriz dos coeficientes é 4 e o posto da matriz aumentada também é 4. Como há 4 incógnitas e posto 4, o sistema é compatível determinado — ou seja, tem solução única.

Resposta

(0,\,-\tfrac{2}{3},\,\tfrac{11}{3},\,-\tfrac{1}{3})

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