Classifique e resolva (quando possível) cada um dos sistemas abaixo: (w)\left\{\begin{array}{c}x-y+z+t=4 \\\\ 2 x-y-z=-3 \\\ x-2 y+t=1 \\\\ 5 x+z-t=4\end{array}\right.
Passo 1
O enunciado pede para classificar e resolver (quando possível) o sistema
São quatro equações lineares entre essas incógnitas.
O que se pede:
Determinar a classificação do sistema (compatível/indeterminado/incompatível; se houver solução única, informar).
Encontrar a solução quando o sistema for compatível.]
Passo 2
Estratégia (explicação didática rápida): vamos usar eliminação por linhas (método de eliminação de Gauss). A ideia é escrever a matriz aumentada do sistema e aplicar operações elementares nas linhas (somar múltiplos de uma linha a outra, trocar linhas ou multiplicar uma linha por escalar não nulo) para obter uma forma triangular superior, o que permite resolver por substituição regressiva. Essas operações não mudam o conjunto de soluções.
Escrevendo a matriz aumentada com ordem de variáveis (x,y,z,t):
y - z - t = -\tfrac{2}{3} - \tfrac{11}{3} -\Bigl(-\tfrac{1}{3}\Bigr) = -\tfrac{12}{3} = -4,
logo x = 4 + (-4) = 0.
Passo 7
Classificação do sistema: obtivemos um pivô em cada coluna correspondente às incógnitas (x,y,z,t), e as operações não geraram contradição (como 0= alguma constante não nula). Portanto o posto da matriz dos coeficientes é 4 e o posto da matriz aumentada também é 4. Como há 4 incógnitas e posto 4, o sistema é compatível determinado — ou seja, tem solução única.