Classifique e resolva (quando possível) cada um dos sistemas abaixo:
(x)\left\{\begin{array}{c}x+y+z-t=2 \\\\ 2 x-y-z-t=-1 \\\ x-2 y-2 z=-3 \\\\ 3 x-3 y-3 z-t=-4\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear com quatro incógnitas \,x,y,z,t, e quatro equações:
\begin{cases} x+y+z-t=2,\\[4pt] 2x-y-z-t=-1,\\[4pt] x-2y-2z= -3,\\[4pt] 3x-3y-3z-t=-4. \end{cases}
O que se pede: classificar o sistema (única solução, infinitas soluções ou incompatível) e, quando possível, encontrar todas as soluções.]

Passo 2

Vou resolver por eliminação de Gauss (redução por operações elementares em linhas). Rápido resumo didático:
  • Monta-se a matriz aumentada do sistema (linhas = equações, colunas = coeficientes de \,x,y,z,t e coluna extra com termos independentes).
  • Usam‑se operações elementares nas linhas (somar múltiplos de uma linha a outra, trocar linhas, multiplicar linha por escalar não nulo) para triangularizar a matriz.
  • O posto (rank) da matriz dos coeficientes indica quantas equações independentes existem; comparando com o número de incógnitas define‑se a existência e a ocorrência de graus de liberdade (variáveis livres).
  • Cada linha não nula na forma reduzida corresponde a uma equação independente que relaciona as incógnitas.

Passo 3

Escrevo a matriz aumentada inicial (colunas: x,y,z,t e termo independente):
\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 1 & 1 & -1 & 2\\[4pt] 2 & -1 & -1 & -1 & -1\\[4pt] 1 & -2 & -2 & 0 & -3\\[4pt] 3 & -3 & -3 & -1 & -4 \end{array}\right]]

Passo 4

Eliminação usando R_1 como pivô para zerar a primeira coluna nas linhas 2,3,4:
  • R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1:
R_2: \;[2-2\cdot1,\\\ -1-2\cdot1,\\\ -1-2\cdot1,\\\ -1-2(-1),\\\ -1-2\cdot2] = [0,-3,-3,1,-5].
  • R_3 \leftarrow R_3 - R_1:
R_3: \;[1-1,\\\ -2-1,\\\ -2-1,\\\ 0-(-1),\\\ -3-2] = [0,-3,-3,1,-5].
  • R_4 \leftarrow R_4 - 3R_1:
R_4: \;[3-3,\\\ -3-3,\\\ -3-3,\\\ -1-3(-1),\\\ -4-3\cdot2] = [0,-6,-6,2,-10].
A matriz fica
\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 1 & 1 & -1 & 2\\[4pt] 0 & -3 & -3 & 1 & -5\\[4pt] 0 & -3 & -3 & 1 & -5\\[4pt] 0 & -6 & -6 & 2 & -10 \end{array}\right].]

Passo 5

Observações úteis (detectar dependências):
  • Notei que R_3 é idêntica a R_2.
  • Notei que R_4 = 2R_2.
Faço agora:
  • R_3 \leftarrow R_3 - R_2 \Rightarrow linha zero [0,0,0,0|0].
  • R_4 \leftarrow R_4 - 2R_2 \Rightarrow linha zero [0,0,0,0|0].
A matriz reduzida é
\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 1 & 1 & -1 & 2\\[4pt] 0 & -3 & -3 & 1 & -5\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right].]

Passo 6

Interpretação do resultado:
  • Há exatamente duas linhas não nulas; logo o posto da matriz dos coeficientes é \,2.
  • Número de incógnitas é \,4. Então o número de variáveis livres é \,4-2=2.
  • Como não apareceu uma linha do tipo [0\\\ 0\\\ 0\\\ 0 \mid b] com b\neq0, o sistema é compatível (tem solução).
  • Conclusão (classificação): o sistema tem infinitas soluções — família de soluções com dois parâmetros livres.

Passo 7

Agora escrevo explicitamente as duas equações independentes obtidas (linhas não nulas):
Da primeira linha:
x + y + z - t = 2.
Da segunda linha:
-3y - 3z + t = -5.
Vou isolar y em função de z e t. Da segunda equação:
-3y - 3z + t = -5
faço manipulação:
-3(y+z) = -5 - t
3(y+z) = 5 + t
y+z = \frac{5 + t}{3}.
Logo
y = \frac{5 + t}{3} - z.
Substituo y+z na primeira equação para obter x. Da primeira:
x + (y+z) - t = 2.
Substituindo y+z = \dfrac{5 + t}{3}:
x + \frac{5 + t}{3} - t = 2.
Resolvo para x. Coloco tudo sobre o mesmo denominador 3:
x = 2 - \frac{5 + t}{3} + t = \frac{6}{3} - \frac{5 + t}{3} + \frac{3t}{3} = \frac{6 - 5 - t + 3t}{3} = \frac{1 + 2t}{3}.

Passo 8

Introduzo parâmetros para as variáveis livres. Escolho:
z = s,\qquad t = r,
onde \,r,s\in\mathbb{R} (parâmetros livres). Então as outras variáveis ficam:
y = \frac{5 + r}{3} - s, \qquad x = \frac{1 + 2r}{3}.
Posso escrever a solução em forma paramétrica:
(x,y,z,t) = \left(\frac{1 + 2r}{3},\\ \frac{5 + r}{3} - s,\\ s,\\ r\right),\qquad r,s\in\mathbb{R}.
Também pode escrever em forma de combinação linear (se preferir):
\begin{aligned} (x,y,z,t) &= \left(\tfrac{1}{3},\\ \tfrac{5}{3},\\\ 0,\\\ 0\right) + r\left(\tfrac{2}{3},\\ \tfrac{1}{3},\\\ 0,\\\ 1\right) + s\left(0,\\\ -1,\\\ 1,\\\ 0\right),\\\ &\qquad r,s\in\mathbb{R}. \end{aligned}

Resposta

Classificação: sistema compatível indeterminado (infinitas soluções, 2 parâmetros livres).
Solução geral:
(x,y,z,t)=\left(\frac{1+2r}{3},\\ \frac{5+r}{3}-s,\\ s,\\ r\right),\qquad r,s\in\mathbb{R}.

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