a) Uma matriz A=\left(a_{i j}\right) \in M_{n}(K) é dita triangular superior quando a_{i j}=0, \forall 1 \leq j<i \leq n. Mostre (por induçāo sobre n ) que o determinante de uma matriz triangular superior é igual ao produto a_{11} a_{22} \ldots a_{n n} dos elementos de sua diagonal.
b) O que você pode dizer sobre o número de soluções dos sistemas abaixo:

Passo 1

O enunciado tem duas partes:
  • (a) Mostrar por indução sobre n que, se A=(a_{ij})\in M_n(K) é triangular superior (ou seja, a_{ij}=0 sempre que 1\le j<i\le n), então o determinante de A é igual ao produto dos elementos da diagonal principal: a_{11}a_{22}\cdots a_{nn}.
  • (b) Pergunta: “O que você pode dizer sobre o número de soluções dos sistemas abaixo:” — porém o enunciado não trouxe os sistemas. Portanto não há como analisar casos específicos porque os sistemas não foram fornecidos.
Informações relevantes dadas:
  • Definição de matriz triangular superior: para todo i>j temos a_{ij}=0.
  • Quer-se usar indução em n para provar a fórmula do determinante.
Observação: como os sistemas específicos não foram enviados, na parte (b) darei uma resposta geral e alguns exemplos ilustrativos que servem para a prova/consulta na hora da prova.

Passo 2

Antes de começar a indução, precisamos lembrar e entender como se calcula o determinante por expansão por cofatores (expansão de Laplace) e o que são menores e cofatores.
  • Para uma matriz A=(a_{ij})\in M_n(K), o menor associado à entrada a_{ij} é a matriz M_{ij} obtida de A ao suprimir a linha i e a coluna j. O determinante de M_{ij} chama-se menor complementar de a_{ij}.
  • O cofator C_{ij} é definido por C_{ij}=(-1)^{i+j}\det(M_{ij}).
  • A expansão por cofatores ao longo da coluna j diz que
\det(A)=\sum_{i=1}^{n} a_{ij} C_{ij}.
Isto significa: para calcular \det(A) expandindo pela primeira coluna (coluna 1),
\det(A)=\sum_{i=1}^{n} a_{i1}(-1)^{i+1}\det(M_{i1}).
Esse fato será usado no passo indutivo.
Explicação didática curta: a expansão por cofatores quebra o determinante em uma soma de termos que multiplicam uma entrada a_{i1} por um determinante de tamanho n-1. Se algumas entradas a_{i1} forem zero, os termos correspondentes desaparecem — isso é o que vai simplificar para matrizes triangulares superiores.

Passo 3

Caso base n=1.
  • Se n=1 então A=(a_{11}) e por definição \det(A)=a_{11}.
  • O produto dos elementos da diagonal é também a_{11}.
    Logo a afirmação é verdadeira para n=1.

Passo 4

Suponha que a afirmação seja verdadeira para todas as matrizes triangulares superiores de ordem n-1: isto é, para qualquer matriz triangular superior B\in M_{n-1}(K) vale
\det(B)=b_{11}b_{22}\cdots b_{n-1,n-1}.
Essa é a hipótese de indução.

Passo 5

Agora prove para uma matriz triangular superior A\in M_n(K).
Escrevendo A=(a_{ij}) e lembrando que a_{i1}=0 sempre que i>1 (porque i>1 implica i>1\ge j com j=1, logo estamos abaixo da diagonal e, por hipótese, esses elementos são zero), observe a expansão por cofatores ao longo da primeira coluna:
\det(A)=\sum_{i=1}^{n} a_{i1}(-1)^{i+1}\det(M_{i1}).
Mas, para todo i\ge 2 temos a_{i1}=0. Portanto todos os termos da soma com i\ge 2 desaparecem, sobrando apenas o termo i=1:
\det(A)=a_{11}(-1)^{1+1}\det(M_{11})=a_{11}\det(M_{11}).
Aqui usei explicitamente que (-1)^{1+1}=1.

Passo 6

Agora preciso observar que M_{11} (a matriz obtida de A suprimindo a linha 1 e a coluna 1) é uma matriz triangular superior de ordem n-1.
Justificativa: em A todo elemento abaixo da diagonal é zero, ou seja, para i>j temos a_{ij}=0. Ao remover a primeira linha e a primeira coluna para formar M_{11} os índices das linhas e colunas restantes são reindexados, e a relação “índice de linha maior que índice de coluna implica elemento zero” permanece válida na submatriz. Assim M_{11} é triangular superior de ordem n-1.
Pelo passo anterior temos \det(A)=a_{11}\det(M_{11}). Aplicando a hipótese de indução à matriz triangular superior M_{11} (de ordem n-1), obtemos
\det(M_{11})=a_{22}a_{33}\cdots a_{nn}.
Portanto
\det(A)=a_{11}\bigl(a_{22}a_{33}\cdots a_{nn}\bigr)=a_{11}a_{22}\cdots a_{nn}.

Passo 7

Assim a propriedade é verdadeira para matrizes triangulares superiores de ordem n. Pelo princípio da indução matemática, a afirmação vale para todo n\ge 1.
Interpretação prática (útil na prova): essa prova mostra por que o determinante de uma matriz triangular (superior ou inferior) é simplesmente o produto dos elementos da diagonal — porque ao expandir por uma coluna que tem zeros exceto no primeiro elemento, o determinante se reduz ao determinante da submatriz menor, e assim por diante recursivamente.

Passo 8

Como os sistemas específicos mencionados no enunciado não foram fornecidos, não é possível decidir o número de soluções para esses sistemas particulares. Não se pode inventar os coeficientes ou os vetores termo independente.
No entanto, posso dar a regra geral que normalmente se espera na prova, e alguns exemplos ilustrativos:
Regra geral para um sistema linear A x=b com A\in M_n(K):
  • Se \det(A)\neq 0, então A é inversível e o sistema A x=b tem exatamente uma solução (solução única), dada por x=A^{-1}b.
  • Se \det(A)=0, então A não é inversível e o sistema pode ter ou nenhuma solução (incompatível) ou infinitas soluções (caso compatível com espaço nulo não trivial). Para decidir entre nenhuma ou infinitas soluções é preciso analisar a compatibilidade (ranks de A e da matriz aumentada [A\mid b]).
Agora aplicando isso a matrizes triangulares superiores:
  • Pelo que provamos na parte (a), \det(A)=a_{11}a_{22}\cdots a_{nn}.
  • Se todos os elementos da diagonal a_{11},a_{22},\dots,a_{nn} são não nulos, então \det(A)\neq 0 e o sistema A x=b tem solução única. Na prática, tal sistema é resolvido muito facilmente por substituição regressiva (back substitution): resolve-se primeiro a última equação para x_n, depois x_{n-1}, e assim por diante.
  • Se algum a_{kk}=0 para algum k, então \det(A)=0 e A não é invertível. Nesse caso:
    • Pode haver nenhuma solução: exemplo em 2\times2,
    A=\begin{pmatrix}0 & 1\\[2pt] 0 & 1\end{pmatrix},\qquad b=\begin{pmatrix}1\\[2pt]0\end{pmatrix}.Aqui a segunda equação diz 0\cdot x_1+1\cdot x_2=0 (logo x_2=0), mas a primeira diz 0\cdot x_1+1\cdot x_2=1 (contradição), logo sistema incompatível (nenhuma solução).
    • Pode haver infinitas soluções: exemplo em 2\times2,
    A=\begin{pmatrix}1 & 2\\[2pt] 0 & 0\end{pmatrix},\qquad b=\begin{pmatrix}3\\[2pt]0\end{pmatrix}.A segunda equação é 0=0 (sem informação), a primeira dá x_1+2x_2=3. Então há uma família infinita de soluções parametrizada por x_2 (por exemplo, x_1=3-2x_2, x_2 livre).
Resumo prático para a prova: ao ver uma matriz triangular superior como matriz de coeficientes de um sistema, calcule o produto da diagonal. Se for não nulo, conclua imediatamente que existe solução única e use substituição regressiva. Se for zero, alerte que é preciso examinar compatibilidade (matriz aumentada) para decidir entre nenhuma ou infinitas soluções.]

Resposta

a) \det(A)=a_{11}a_{22}\cdots a_{nn}.
b) Não é possível determinar o número de soluções dos sistemas específicos porque eles não foram fornecidos. Geralmente: se o coeficiente A é triangular superior então \det(A)=a_{11}a_{22}\cdots a_{nn}; se esse produto for diferente de zero o sistema Ax=b tem solução única; se o produto for zero então Ax=b pode ter nenhuma solução ou infinitas soluções, dependendo da compatibilidade (analisar o posto de A e da matriz aumentada [A\mid b]).

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