a) Uma matriz
é dita triangular superior quando
. Mostre (por induçāo sobre
) que o determinante de uma matriz triangular superior é igual ao produto
dos elementos de sua diagonal.
b) O que você pode dizer sobre o número de soluções dos sistemas abaixo:
b) O que você pode dizer sobre o número de soluções dos sistemas abaixo:
Passo 1
O enunciado tem duas partes:
- (a) Mostrar por indução sobre
que, se é triangular superior (ou seja, sempre que ), então o determinante de é igual ao produto dos elementos da diagonal principal: . - (b) Pergunta: “O que você pode dizer sobre o número de soluções dos sistemas abaixo:” — porém o enunciado não trouxe os sistemas. Portanto não há como analisar casos específicos porque os sistemas não foram fornecidos.
Informações relevantes dadas:
- Definição de matriz triangular superior: para todo
temos . - Quer-se usar indução em
para provar a fórmula do determinante.
Observação: como os sistemas específicos não foram enviados, na parte (b) darei uma resposta geral e alguns exemplos ilustrativos que servem para a prova/consulta na hora da prova.
Passo 2
Antes de começar a indução, precisamos lembrar e entender como se calcula o determinante por expansão por cofatores (expansão de Laplace) e o que são menores e cofatores.
- Para uma matriz
, o menor associado à entrada é a matriz obtida de ao suprimir a linha e a coluna . O determinante de chama-se menor complementar de . - O cofator
é definido por . - A expansão por cofatores ao longo da coluna
diz que
Isto significa: para calcular
expandindo pela primeira coluna (coluna
),
Esse fato será usado no passo indutivo.
Explicação didática curta: a expansão por cofatores quebra o determinante em uma soma de termos que multiplicam uma entrada
por um determinante de tamanho
. Se algumas entradas
forem zero, os termos correspondentes desaparecem — isso é o que vai simplificar para matrizes triangulares superiores.
Passo 3
Caso base
.
- Se
então e por definição . - O produto dos elementos da diagonal é também
.
Logo a afirmação é verdadeira para.
Passo 4
Suponha que a afirmação seja verdadeira para todas as matrizes triangulares superiores de ordem
: isto é, para qualquer matriz triangular superior
vale
Essa é a hipótese de indução.
Passo 5
Agora prove para uma matriz triangular superior
.
Escrevendo
e lembrando que
sempre que
(porque
implica
com
, logo estamos abaixo da diagonal e, por hipótese, esses elementos são zero), observe a expansão por cofatores ao longo da primeira coluna:
Mas, para todo
temos
. Portanto todos os termos da soma com
desaparecem, sobrando apenas o termo
:
Aqui usei explicitamente que
.
Passo 6
Agora preciso observar que
(a matriz obtida de
suprimindo a linha
e a coluna
) é uma matriz triangular superior de ordem
.
Justificativa: em
todo elemento abaixo da diagonal é zero, ou seja, para
temos
. Ao remover a primeira linha e a primeira coluna para formar
os índices das linhas e colunas restantes são reindexados, e a relação “índice de linha maior que índice de coluna implica elemento zero” permanece válida na submatriz. Assim
é triangular superior de ordem
.
Pelo passo anterior temos
. Aplicando a hipótese de indução à matriz triangular superior
(de ordem
), obtemos
Portanto
Passo 7
Assim a propriedade é verdadeira para matrizes triangulares superiores de ordem
. Pelo princípio da indução matemática, a afirmação vale para todo
.
Interpretação prática (útil na prova): essa prova mostra por que o determinante de uma matriz triangular (superior ou inferior) é simplesmente o produto dos elementos da diagonal — porque ao expandir por uma coluna que tem zeros exceto no primeiro elemento, o determinante se reduz ao determinante da submatriz menor, e assim por diante recursivamente.
Passo 8
Como os sistemas específicos mencionados no enunciado não foram fornecidos, não é possível decidir o número de soluções para esses sistemas particulares. Não se pode inventar os coeficientes ou os vetores termo independente.
No entanto, posso dar a regra geral que normalmente se espera na prova, e alguns exemplos ilustrativos:
Regra geral para um sistema linear
com
:
- Se
, então é inversível e o sistema tem exatamente uma solução (solução única), dada por . - Se
, então não é inversível e o sistema pode ter ou nenhuma solução (incompatível) ou infinitas soluções (caso compatível com espaço nulo não trivial). Para decidir entre nenhuma ou infinitas soluções é preciso analisar a compatibilidade (ranks de e da matriz aumentada ).
Agora aplicando isso a matrizes triangulares superiores:
- Pelo que provamos na parte (a),
. - Se todos os elementos da diagonal
são não nulos, então e o sistema tem solução única. Na prática, tal sistema é resolvido muito facilmente por substituição regressiva (back substitution): resolve-se primeiro a última equação para , depois , e assim por diante. - Se algum
para algum , então e não é invertível. Nesse caso: - Pode haver nenhuma solução: exemplo em
,
Aqui a segunda equação diz (logo ), mas a primeira diz (contradição), logo sistema incompatível (nenhuma solução). - Pode haver infinitas soluções: exemplo em
,
A segunda equação é (sem informação), a primeira dá . Então há uma família infinita de soluções parametrizada por (por exemplo, , livre). - Pode haver nenhuma solução: exemplo em
Resumo prático para a prova: ao ver uma matriz triangular superior como matriz de coeficientes de um sistema, calcule o produto da diagonal. Se for não nulo, conclua imediatamente que existe solução única e use substituição regressiva. Se for zero, alerte que é preciso examinar compatibilidade (matriz aumentada) para decidir entre nenhuma ou infinitas soluções.]
Resposta
a)
b) Não é possível determinar o número de soluções dos sistemas específicos porque eles não foram fornecidos. Geralmente: se o coeficiente
é triangular superior então
; se esse produto for diferente de zero o sistema
tem solução única; se o produto for zero então
pode ter nenhuma solução ou infinitas soluções, dependendo da compatibilidade (analisar o posto de
e da matriz aumentada
).