A=\left(\begin{array}{rr} B & 0 \\\\ 0 & C \end{array}\right) \in M_{n}(K)
onde B é uma matriz r \times r e C é uma matriz s \times s. Mostre que \operatorname{det} A=\operatorname{det} B. \operatorname{det} C. [Dica: Fixe r e prove por indução sobre s usando o desenvolvimento de Laplace pela última linha da matriz A.]
Importante: se alguns elementos m_{ij} da linha i forem zero, os termos correspondentes na soma somem-se a zero — isso torna a expansão muito prática quando a linha tem muitos zeros. Também usarei que (-1)^{2r}=1 para todo inteiro r.
A prova seguirá por indução sobre s, com r fixo.
Passo 3
Se s=1 então C é 1\times1, digamos C=(c_{11}). A matriz A tem ordem r+1 e a sua última linha é
(0,\dots,0,\; c_{11}),
ou seja, os primeiros r coeficientes dessa linha são zero (porque o bloco superior direito é zero) e só o último coeficiente é c_{11}.
Aplicando o desenvolvimento de Laplace pela última linha (linha r+1):
\det A = \sum_{j=1}^{r+1} (-1)^{r+1+j} a_{r+1,j}\det\big(A_{r+1,j}\big).
Como a_{r+1,1}=\cdots=a_{r+1,r}=0, só sobra o termo j=r+1:
\det A = (-1)^{r+1+(r+1)} a_{r+1,r+1}\det\big(A_{r+1,r+1}\big).
O sinal vale (-1)^{2(r+1)}=1. Além disso a_{r+1,r+1}=c_{11} e A_{r+1,r+1} é exatamente a matriz B (pois removendo a última linha e última coluna fica o bloco B). Logo
\det A = c_{11}\det B = \det B\cdot\det C,
pois \det C=c_{11}. O caso base está provado.
Passo 4
Assuma agora que a afirmação é verdadeira para todas as matrizes blocos com o mesmo r e com bloco C de ordem s-1: isto é, para toda matriz
\begin{pmatrix}B & 0\\[2pt]0 & C'\end{pmatrix}
com C' de ordem s-1 vale \det =\det B\cdot\det C'.
Vamos provar então o caso onde o bloco C tem ordem s.]
Passo 5
Considere A com o bloco C de ordem s. A última linha de A corresponde à última linha de C concatenada após r zeros; explicitamente a linha i=r+s tem entradas
Observe que a_{r+s,r+j'}=c_{s,j'} (peguei esse dado da estrutura em blocos: as entradas da última linha de A na parte do bloco C são as da última linha de C). O sinal simplifica porque
Agora analiso o menor A_{\,r+s,r+j'}: é a matriz obtida de A removendo-se a última linha e a coluna r+j'. Devido à estrutura em blocos com zeros cruzados, essa matriz é novamente uma matriz em blocos diagonal:
A_{\,r+s,r+j'} = \begin{pmatrix} B & 0 \\[3pt] 0 & C_{\,s,j'}\end{pmatrix},
onde C_{\,s,j'} é a matriz obtida de C removendo a sua última linha e a coluna j' (portanto C_{\,s,j'} tem ordem s-1). (Aqui usei explicitamente que removendo as linhas/colunas que pertencem ao bloco C não aparece preenchimento na placa B porque os blocos fora da diagonal são zeros — esse dado veio da forma inicial de A.)
Pelo passo da hipótese de indução (já valendo para ordem s-1), temos