Classifique e resolva os seguintes sistemas lineares:
lx+2 y-3 z=0 5 x+6 y+z=12 3 x+4 y-z=6

Passo 1

O enunciado pede para classificar (determinar se o sistema é possível e determinado, possível e indeterminado, ou impossível) e em seguida resolver o sistema linear de três equações e três incógnitas
x + 2y - 3z = 0, 5x + 6y + z = 12, 3x + 4y - z = 6
O conteúdo aqui é teoria de sistemas lineares 3times 3: vamos usar a noção de determinante para a classificação e eliminação de Gauss para resolver.

Passo 2

Calcular o determinante da matriz de coeficientes
A = 1 & 2 & -3 5 & 6 & 1 3 & 4 & -1
Usando expansão pela primeira linha:
det(A) =1cdotdet6&14&-1 -2cdotdet5&13&-1 -3cdotdet5&63&4
Calculemos:
det6&14&-1=6cdot(-1)-1cdot4=-10,
det5&13&-1=5cdot(-1)-1cdot3=-8,
det5&63&4=5cdot4-6cdot3=2
Logo
det(A)=1cdot(-10)-2cdot(-8)-3cdot2=-10+16-6=0
Como det(A)=0, o sistema não é determinado; pode ser indeterminado (infinitas soluções) ou impossível.

Passo 3

Formamos a matriz aumentada e aplicamos eliminação de Gauss:
Observamos que a segunda linha é o dobro da terceira. Então o posto da matriz de coeficientes é e o posto da aumentada também é . Como os postos coincidem e são menores que , o sistema é possível e indeterminado (infinitas soluções).

Passo 4

Das equações reduzidas temos
-4y + 16z = 12 Longrightarrow -y + 4z = 3 Longrightarrow y = 4z - 3
Chamemos z = tinR. Então
y = 4t - 3
De volta à primeira equação x + 2y - 3z = 0:
x + 2(4t-3) - 3t = 0 Longrightarrow x + 8t - 6 - 3t = 0 Longrightarrow x = 6 - 5t

Resposta

O sistema é possível e indeterminado, com solução geral
l(x,y,zr) = l(6-5t,;4t-3,;tr), tinR

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