Classifique e resolva os seguintes sistemas lineares:
lx+4 y+3 z=1 2 x+5 y+4 z=4 x-3 y-2 z=5

Passo 1

O enunciado pede para classificar (se o sistema é determinado, indeterminado ou impossível) e resolver o sistema linear
O conteúdo envolvido é teoria de sistemas lineares , usando determinante para classificação e eliminação de Gauss para resolução.

Passo 2

Formamos a matriz dos coeficientes
A = 1 & 4 & 3 2 & 5 & 4 1 & -3 & -2
e calculamos
det(A) =1cdotdet!5&4-3&-2 -4cdotdet!2&41&-2 +3cdotdet!2&51&-3
Calculando cada menor:
det!5&4-3&-2=5cdot(-2)-4cdot(-3)=2,
det!2&41&-2=2cdot(-2)-4cdot1=-8,
det!2&51&-3=2cdot(-3)-5cdot1=-11
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det(A)=1cdot2-4cdot(-8)+3cdot(-11)=2+32-33=1

Passo 3

Como det(A)=1neq0, o sistema é determinado e possui solução única.

Passo 4

Vamos resolver por eliminação de Gauss. Chamo as equações de ( 1), ( 2) e ( 3). Faço
(2) - 2times(1): -3y -2z = 4 - 2cdot1 = 2
Denoto esta nova equação por ( 2’).

Passo 5

Comparo ( 3) e ( 2’):
(3):;x -3y -2z = 5, (2'): ;0cdot x -3y -2z = 2
Subtraindo ( 2’) de ( 3) vem
x = 5 - 2 = 3

Passo 6

Agora, com x=3, escrevo duas expressões para y em função de z:
de ( 2’) temos
-3y -2z = 2 Longrightarrow y = -2-2z3,
e de ( 1) com x=3:
3 + 4y + 3z = 1 Longrightarrow 4y = -2 -3z Longrightarrow y = -2-3z4

Passo 7

Igualando as duas expressões de y:
-2 -2z3 = -2 -3z4 Longrightarrow 3(-2-2z)=4(-2-3z) Longrightarrow -6 -6z = -8 -12z
Longrightarrow -6z +12z = -8 +6 Longrightarrow 6z = -2 Longrightarrow z = 2
Substituindo em y = tfrac-2-2z3
y = -2 -2cdot23 = -63 = -2

Passo 8

Reunindo resultados:
(x,y,z) = (3,,-2,,2)

Resposta

O sistema é determinado (det ,A =1) e a única solução é
(x,y,z) = (3,,-2,,2)

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