Classifique e resolva os seguintes sistemas lineares:
lx+y+z+t=0 2 x+y+t=1 y-z+2 t=-6 -x+y-3 t=3

Passo 1

O enunciado pede para classificar (ver se o sistema é compatível ou não, e se for compatível se tem solução única ou infinitas) e resolver o sistema linear
x+y+z+t=0, 2x+y+t=1, y-z+2t=-6, -,x+y-3t=3
Vamos usar o método de eliminação de Gauss, escrevendo a matriz aumentada e aplicando operações elementares para triangularizar.

Passo 2

Escrevendo a matriz aumentada inicial:
[cccc|c 1 & 1 & 1 & 1 & 0 [6pt] 2 & 1 & 0 & 1 & 1 [6pt] 0 & 1 & -1 & 2 & -6 [6pt] -1 & 1 & 0 & -3 & 3 ] ]

Passo 3

Eliminamos x de segunda e quarta linhas usando a primeira:
L2 L2 - 2L1
L4 L4 + L1
[cccc|c 1 & 1 & 1 & 1 & 0 [4pt] 0 & -1 & -2 & -1 & 1 [4pt] 0 & 1 & -1 & 2 & -6 [4pt] 0 & 2 & 1 & -2 & 3 ] ]

Passo 4

Eliminamos y de terceira e quarta linhas usando agora a segunda:
L3 L3 + L2
L4 L4 + 2L2
[cccc|c 1 & 1 & 1 & 1 & 0 [4pt] 0 & -1 & -2 & -1 & 1 [4pt] 0 & 0 & -3 & 1 & -5 [4pt] 0 & 0 & -3 & -4 & 5 ] ]

Passo 5

Eliminamos z da quarta linha usando a terceira:
L4 L4 - L3
[cccc|c 1 & 1 & 1 & 1 & 0 [4pt] 0 & -1 & -2 & -1 & 1 [4pt] 0 & 0 & -3 & 1 & -5 [4pt] 0 & 0 & 0 & -5 & 10 ] ]

Passo 6

Fazemos substituição regressiva:
-5,t = 10 implies t = -2,
-3,z + 1cdot t = -5 implies -3,z -2 = -5 implies z = 1,
-,y -2,z -1cdot t = 1 implies -y -2cdot1 +2 = 1 implies y = -1,
x + y + z + t = 0 implies x -1 +1 -2=0 implies x = 2

Passo 7

Como obtivemos valores numéricos únicos para x,y,z,t, o sistema é compatível determinado.

Resposta

O sistema é compatível determinado e
(x,y,z,t) = (2,,-1,,1,,-2)

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