1- Para que valores de “m” os pontos A(m, 1,2), B(0,2,3), C(5,1,1) e D(3,2,2) são coplanares?

Passo 1

O enunciado pede para quais valores de m os quatro pontos
Al(m,1,2r), B(0,2,3), C(5,1,1), D(3,2,2)
são coplanares. O conteúdo usado será a condição de coplanaridade em R^3: o produto misto dos vetores AB,AC,AD deve ser zero.

Passo 2

Para que quatro pontos sejam coplanares, o volume do tetraedro formado por eles é zero. Esse volume é dado (até fator constante) pelo produto misto
(AB,,AC,,AD)=0

Passo 3

Calculemos os vetores a partir de A:
AB=B-A=(0-m,;2-1,;3-2)=(-m,,1,,1),
AC=C-A=(5-m,;1-1,;1-2)=(5-m,,0,,-1),
AD=D-A=(3-m,;2-1,;2-2)=(3-m,,1,,0)

Passo 4

Escrevemos o produto misto como determinante e expandimos:
(AB,AC,AD) =det -m & 1 & 1 5-m & 0 & -1 3-m & 1 & 0
Ao expandir por cofactores na primeira linha:
det = -ml(0cdot0 - (-1)cdot1r) -1l((5-m)cdot0 - (-1),(3-m)r) +1l((5-m)cdot1 - 0,(3-m)r)
Simplificando, obtém-se
det = -m,(1) ;-;(3-m);+;(5-m) = -m +m -3 +5 -m = -m +2

Passo 5

Impondo -m+2=0 para coplanaridade, vem
-m + 2 = 0 Longrightarrow m = 2

Resposta

m = 2

Exercícios relacionados