Sejam
A=\left[\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 2 \\\\ -1 & 3 & 1 \\\\ 0 & 5 & -2 \end{array}\right], \quad B=\left[\begin{array}{ccc} 2 & 1 & 0 \\\\ 1 & 0 & 3 \\\\ -2 & 4 & 1 \end{array}\right]
Calcule: A+B, A B e B A.

Passo 1

O que o enunciado nos dá e o que pede (peguei todos os números das matrizes fornecidas).
As matrizes são
A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\\\ -1 & 3 & 1 \\\\ 0 & 5 & -2 \end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\\\ 1 & 0 & 3 \\\\ -2 & 4 & 1 \end{pmatrix}.
O enunciado pede para calcular:
A+B,\qquad A B,\qquad B A.

Passo 2

Regra de adição de matrizes (aula rápida): para duas matrizes do mesmo tamanho, a soma é feita termo a termo. Escrevendo em fórmula, se C=A+B então
C_{ij}=A_{ij}+B_{ij}
para todo i,j. Ou seja, soma-se cada entrada correspondente.
Agora aplicamos isso elemento a elemento às matrizes A e B.

Passo 3

Cálculo de A+B, somando cada entrada correspondente:
Primeira linha:
(1+2,\;0+1,\;2+0)=(3,\;1,\;2).
Segunda linha:
(-1+1,\;3+0,\;1+3)=(0,\;3,\;4).
Terceira linha:
(0+(-2),\;5+4,\;-2+1)=(-2,\;9,\;-1).
Portanto
A+B=\begin{pmatrix} 3 & 1 & 2 \\\\ 0 & 3 & 4 \\\\ -2 & 9 & -1 \end{pmatrix}.

Passo 4

Regra de multiplicação de matrizes (aula rápida): se C=AB com A de tamanho m\times n e B de tamanho n\times p, então C é m\times p e suas entradas são dadas por produto interno da linha i de A com a coluna j de B:
C_{ij}=\sum_{k=1}^{n} A_{ik}\,B_{kj}.
Isto significa: pegue a linha i de A, multiplique termo a termo com a coluna j de B e some os resultados. É exatamente o produto escalar entre a linha e a coluna.
Vamos aplicar isso para calcular AB. Mostrarei cada entrada como um produto escalar com as contas explicitadas.

Passo 5

Cálculo da primeira linha de AB.
A primeira linha de A é (1,0,2).
Colunas de B:
\text{col}_1(B)=(2,1,-2),\quad \text{col}_2(B)=(1,0,4),\quad \text{col}_3(B)=(0,3,1).
Produtos escalares:
(AB)_{11}=1\cdot2+0\cdot1+2\cdot(-2)=2+0-4=-2.
(AB)_{12}=1\cdot1+0\cdot0+2\cdot4=1+0+8=9.
(AB)_{13}=1\cdot0+0\cdot3+2\cdot1=0+0+2=2.
Portanto a primeira linha de AB é (-2,\;9,\;2).

Passo 6

Cálculo da segunda linha de AB.
A segunda linha de A é (-1,3,1).
Usando as mesmas colunas de B:
(AB)_{21}=(-1)\cdot2+3\cdot1+1\cdot(-2)=-2+3-2=-1.
(AB)_{22}=(-1)\cdot1+3\cdot0+1\cdot4=-1+0+4=3.
(AB)_{23}=(-1)\cdot0+3\cdot3+1\cdot1=0+9+1=10.
Segunda linha de AB é (-1,\;3,\;10).

Passo 7

Cálculo da terceira linha de AB.
A terceira linha de A é (0,5,-2).
(AB)_{31}=0\cdot2+5\cdot1+(-2)\cdot(-2)=0+5+4=9.
(AB)_{32}=0\cdot1+5\cdot0+(-2)\cdot4=0+0-8=-8.
(AB)_{33}=0\cdot0+5\cdot3+(-2)\cdot1=0+15-2=13.
Terceira linha de AB é (9,\;-8,\;13).
Juntando as linhas obtém-se
AB=\begin{pmatrix} -2 & 9 & 2 \\\\ -1 & 3 & 10 \\\\ 9 & -8 & 13 \end{pmatrix}.

Passo 8

Agora vamos calcular BA. Reaplicamos a mesma regra de multiplicação, mas agora com B à esquerda e A à direita: cada entrada de BA é produto escalar entre linha de B e coluna de A.
Colunas de A:
\text{col}_1(A)=(1,-1,0),\quad \text{col}_2(A)=(0,3,5),\quad \text{col}_3(A)=(2,1,-2).
Vou calcular linha a linha.

Passo 9

Primeira linha de B é (2,1,0).
Produtos escalares com colunas de A:
(BA)_{11}=2\cdot1+1\cdot(-1)+0\cdot0=2-1+0=1.
(BA)_{12}=2\cdot0+1\cdot3+0\cdot5=0+3+0=3.
(BA)_{13}=2\cdot2+1\cdot1+0\cdot(-2)=4+1+0=5.
Primeira linha de BA é (1,\;3,\;5).

Passo 10

Segunda linha de B é (1,0,3).
(BA)_{21}=1\cdot1+0\cdot(-1)+3\cdot0=1+0+0=1.
(BA)_{22}=1\cdot0+0\cdot3+3\cdot5=0+0+15=15.
(BA)_{23}=1\cdot2+0\cdot1+3\cdot(-2)=2+0-6=-4.
Segunda linha de BA é (1,\;15,\;-4).

Passo 11

Terceira linha de B é (-2,4,1).
(BA)_{31}=(-2)\cdot1+4\cdot(-1)+1\cdot0=-2-4+0=-6.
(BA)_{32}=(-2)\cdot0+4\cdot3+1\cdot5=0+12+5=17.
(BA)_{33}=(-2)\cdot2+4\cdot1+1\cdot(-2)=-4+4-2=-2.
Terceira linha de BA é (-6,\;17,\;-2).
Juntando as linhas obtém-se
BA=\begin{pmatrix} 1 & 3 & 5 \\\\ 1 & 15 & -4 \\\\ -6 & 17 & -2 \end{pmatrix}.

Resposta

A+B
\begin{pmatrix} 3 & 1 & 2 \\\\ 0 & 3 & 4 \\\\ -2 & 9 & -1 \end{pmatrix}
AB
\begin{pmatrix} -2 & 9 & 2 \\\\ -1 & 3 & 10 \\\\ 9 & -8 & 13 \end{pmatrix}
BA
\begin{pmatrix} 1 & 3 & 5 \\\\ 1 & 15 & -4 \\\\ -6 & 17 & -2 \end{pmatrix}

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