Classifique as seguintes equações segundo a ordem e a linearidade:

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me passou a seguinte equação diferencial para classificar segundo a ordem e a linearidade:
x^2 y^prime prime + 5 x y = 3 x(y^prime)^3
Vamos trabalhar com os conceitos de ordem e linearidade em equações diferenciais para fazer essa classificação.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre ordem. A ordem de uma equação diferencial é determinada pela maior derivada presente na equação. Olhando para a nossa equação:
x^2 y^prime prime + 5 x y = 3 x(y^prime)^3
A maior derivada que aparece é $ y^{\prime \prime} $, que é a segunda derivada de $ y $ em relação a $ x $. Portanto, a ordem dessa equação é segunda ordem.

Passo 3

Agora, vamos entender a linearidade. Uma equação diferencial é linear se ela pode ser escrita de forma que a função desconhecida $ y $ e suas derivadas apareçam apenas de forma linear, ou seja, sem multiplicação entre elas, sem potências ou funções não lineares aplicadas a elas.
Vamos analisar a nossa equação:
y
O lado direito da equação tem $ 3 x\left(y{\prime}\right){3} $, onde $ \left(y{\prime}\right){3} $ é a primeira derivada de $ y $ elevada ao cubo. Isso é uma expressão não linear, pois envolve a derivada elevada a uma potência.
Além disso, no lado esquerdo, temos termos como $ x^{2} y^{\prime \prime} $ e $ 5 x y $. Embora as derivadas apareçam de forma linear aqui, o termo não linear no lado direito já nos indica que a equação, como um todo, não é linear.

Passo 4

Combinando nossas análises:
  • Ordem: Segunda ordem (devido a $ y^{\prime \prime} $)
  • Linearidade: Não linear (devido ao termo $ \left(y{\prime}\right){3} $)

Resposta

A equação x^2 y^prime prime + 5 x y = 3 x(y^prime)^3 é de segunda ordem e não linear.

Exercícios relacionados