Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, calcule o limite.
an=1n(raizn^2+1-n)

Passo 1

O enunciado pede para determinar a convergência da sequência an=1n(raizn^2+1-n). O conteúdo é limites de sequências com radicais e vamos usar a técnica de racionalização para simplificar essa expressão.

Passo 2

Para racionalizar o denominador, multiplicamos numerador e denominador por raizn^2+1+n. Assim, temos:
[
a_n = \frac{1}{n(\sqrt{n^2+1}-n)} \cdot \frac{\sqrt{n2+1}+n}{\sqrt{n2+1}+n} = \frac{\sqrt{n2+1}+n}{n\bigl((n2+1)-n^2\bigr)} = \frac{\sqrt{n^2+1}+n}{n}.
]

Passo 3

Em seguida, separamos os termos dividindo cada parcela por n:
[
a_n = \frac{\sqrt{n^2+1}}{n} + \frac{n}{n} = \sqrt{1+\frac{1}{n^2}} + 1.
]

Passo 4

Agora aplicamos o limite quando ntoinfty. Sabemos que limntoinftyraiz1+1/n^2=1, logo:
[
\lim_{n\to\infty}a_n = 1 + 1 = 2.
]

Resposta

A sequência converge e o seu limite é 2.

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