Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, calcule o limite.
Passo 1
O enunciado pede para determinar a convergência da sequência
. O conteúdo é limites de sequências com radicais e vamos usar a técnica de racionalização para simplificar essa expressão.
Passo 2
Para racionalizar o denominador, multiplicamos numerador e denominador por
. Assim, temos:
[
a_n = \frac{1}{n(\sqrt{n^2+1}-n)} \cdot \frac{\sqrt{n2+1}+n}{\sqrt{n2+1}+n} = \frac{\sqrt{n2+1}+n}{n\bigl((n2+1)-n^2\bigr)} = \frac{\sqrt{n^2+1}+n}{n}.
]
[
a_n = \frac{1}{n(\sqrt{n^2+1}-n)} \cdot \frac{\sqrt{n2+1}+n}{\sqrt{n2+1}+n} = \frac{\sqrt{n2+1}+n}{n\bigl((n2+1)-n^2\bigr)} = \frac{\sqrt{n^2+1}+n}{n}.
]
Passo 3
Em seguida, separamos os termos dividindo cada parcela por
:
[
a_n = \frac{\sqrt{n^2+1}}{n} + \frac{n}{n} = \sqrt{1+\frac{1}{n^2}} + 1.
]
[
a_n = \frac{\sqrt{n^2+1}}{n} + \frac{n}{n} = \sqrt{1+\frac{1}{n^2}} + 1.
]
Passo 4
Agora aplicamos o limite quando
. Sabemos que
, logo:
[
\lim_{n\to\infty}a_n = 1 + 1 = 2.
]
[
\lim_{n\to\infty}a_n = 1 + 1 = 2.
]
Resposta
A sequência converge e o seu limite é 2.