Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, calcule o limite.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente descobrir se uma sequência converge ou diverge e, se convergir, qual é o limite dela. A sequência que estamos analisando é $ a_{n} = n \cdot \sin\left(\frac{2}{n}\right) $. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre limites e propriedades da função seno, especialmente quando o ângulo está próximo de zero.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a sequência $ a_{n} = n \cdot \sin\left(\frac{2}{n}\right) $. À medida que $ n $ aumenta, o termo $ \frac{2}{n} $ fica cada vez menor, se aproximando de zero. Então, estamos multiplicando $ n $ por o seno de um número que está indo para zero.
Passo 3
Sabemos que, quando o ângulo é bem pequeno (próximo de zero), o seno desse ângulo é aproximadamente igual ao próprio ângulo. Ou seja, $ \sin(x) \approx x $ quando $ x $ está perto de 0. Vamos usar essa aproximação para simplificar nossa sequência.
Passo 4
Aplicando essa aproximação na nossa sequência:
Então, à medida que $ n $ cresce, $ a_{n} $ se aproxima de 2.
Passo 5
Para ter certeza dessa aproximação, podemos calcular o limite de $ a_{n} $ quando $ n $ tende ao infinito:
Usando a propriedade que $ \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1 $, substituímos $ x = \frac{2}{n} $:
Resposta
A sequência converge e o seu limite é 2.