Classifique as seguintes equações diferenciais quanto à simplicidade, quanto à ordem e quanto à linearidade:
Passo 1
O enunciado pede para classificar a equação diferencial abaixo segundo três critérios: simplicidade, ordem e linearidade. A equação dada é
Informações explícitas que o enunciado dá:
aparece como variável independente (está dentro de coeficientes e no lado direito),
é a função desconhecida e aparecem suas derivadas
e
,
o termo do lado direito é .
o termo do lado direito é
Passo 2
Identificar variável independente e dependente e o tipo de derivadas presentes. Aqui:
a) Variável independente: .
b) Variável dependente: .
c) Derivadas presentes: e
.
Como só aparecem derivadas em relação a uma única variável ( ), trata-se de uma equação diferencial em uma variável.
a) Variável independente:
b) Variável dependente:
c) Derivadas presentes:
Como só aparecem derivadas em relação a uma única variável (
Passo 3
Classificação quanto à simplicidade. Explico o conceito: “simplicidade” aqui significa se a equação é ordinária (EDO) ou parcial (EDP). Uma equação é:
- ordinária (EDO) se as derivadas são em relação a uma única variável independente;
- parcial (EDP) se há derivadas parciais em relação a mais de uma variável independente.
Na equação dada só aparecem derivadas em relação a, portanto é uma equação diferencial ordinária (EDO).
Passo 4
Classificação quanto à ordem. Definição: a ordem de uma equação diferencial é o maior número de derivada de
que aparece na equação. Na equação dada aparecem até
(segunda derivada). Logo a ordem é a segunda ordem, ou seja, é uma EDO de ordem
.
Passo 5
Classificação quanto à linearidade — definição e checagem cuidadosa. Definição de equação linear de ordem
: pode ser escrita como
onde os
e
são funções apenas da variável independente
(podem ser constantes), e a dependente
e suas derivadas aparecem apenas em combinação linear (sem produtos entre
e
, sem potências como
, sem funções não lineares de
como
, etc.). Agora aplico isso ao nosso caso:
a) Reescrevendo a equação na forma padrão:
a) Reescrevendo a equação na forma padrão:
b) Comparando com a forma linear geral, identifico os coeficientes:
c) Observações:
- Os coeficientes
são funções de (ou constantes no caso de ). Portanto são coeficientes dependentes de — isto é, coeficientes variáveis. - A incógnita
e suas derivadas aparecem só em combinação linear (não há termos como , , , etc.). Logo a equação é linear. - Como o termo do lado direito
é diferente de zero, a equação é não homogênea. Se tivéssemos seria homogênea.
Passo 6
Resumo técnico e dica rápida para prova. Conclusões:
- É uma EDO porque há derivadas só em relação a
. - É de ordem
porque a maior derivada presente é . - É linear porque
aparecem de forma linear; é não homogênea porque o lado direito é ; tem coeficientes variáveis porque os coeficientes dependem de (por exemplo e ).
Dica prática para a prova: procuro primeiro a maior derivada (ordem), verifico se há derivadas parciais (se sim, é EDP; se não, EDO), e examino seaparece em produtos ou potências para decidir linearidade; por fim, vejo se o lado direito é zero para decidir homogeneidade. Você consegue!
Resposta
Simplicidade: EDO (equação diferencial ordinária).
Ordem: segunda ordem.
Linearidade: linear, não homogênea, com coeficientes variáveis (coeficientes dependem de ).
Ordem: segunda ordem.
Linearidade: linear, não homogênea, com coeficientes variáveis (coeficientes dependem de