Classifique as seguintes equações diferenciais quanto à simplicidade, quanto à ordem e quanto à linearidade:
t^{2} y^{\prime \prime}+t y^{\prime}+2 y=\sin t

Passo 1

O enunciado pede para classificar a equação diferencial abaixo segundo três critérios: simplicidade, ordem e linearidade. A equação dada é
t^{2} y^{\prime\prime}+t y^{\prime}+2 y=\sin t.
Informações explícitas que o enunciado dá:
\;t aparece como variável independente (está dentro de coeficientes e no lado direito),
y é a função desconhecida e aparecem suas derivadas y' e y'',
o termo do lado direito é \sin t.

Passo 2

Identificar variável independente e dependente e o tipo de derivadas presentes. Aqui:
a) Variável independente: \;t.
b) Variável dependente: \;y=\;y(t).
c) Derivadas presentes: \;y'=\dfrac{dy}{dt} e \;y''=\dfrac{d^2y}{dt^2}.
Como só aparecem derivadas em relação a uma única variável ( t), trata-se de uma equação diferencial em uma variável.

Passo 3

Classificação quanto à simplicidade. Explico o conceito: “simplicidade” aqui significa se a equação é ordinária (EDO) ou parcial (EDP). Uma equação é:
  • ordinária (EDO) se as derivadas são em relação a uma única variável independente;
  • parcial (EDP) se há derivadas parciais em relação a mais de uma variável independente.
    Na equação dada só aparecem derivadas em relação a \;t, portanto é uma equação diferencial ordinária (EDO).

Passo 4

Classificação quanto à ordem. Definição: a ordem de uma equação diferencial é o maior número de derivada de y que aparece na equação. Na equação dada aparecem até \;y'' (segunda derivada). Logo a ordem é a segunda ordem, ou seja, é uma EDO de ordem 2.

Passo 5

Classificação quanto à linearidade — definição e checagem cuidadosa. Definição de equação linear de ordem n: pode ser escrita como
a_n(t)\,y^{(n)} + a_{n-1}(t)\,y^{(n-1)} + \cdots + a_1(t)\,y' + a_0(t)\,y = g(t),
onde os a_k(t) e g(t) são funções apenas da variável independente t (podem ser constantes), e a dependente y e suas derivadas aparecem apenas em combinação linear (sem produtos entre y e y', sem potências como y^2, sem funções não lineares de y como \sin y, etc.). Agora aplico isso ao nosso caso:
a) Reescrevendo a equação na forma padrão:
t^{2}y'' + t y' + 2y = \sin t.
b) Comparando com a forma linear geral, identifico os coeficientes:
a_2(t)=t^{2},\qquad a_1(t)=t,\qquad a_0(t)=2,\qquad g(t)=\sin t.
c) Observações:
  • Os coeficientes a_2(t),a_1(t),a_0(t) são funções de t (ou constantes no caso de a_0). Portanto são coeficientes dependentes de t — isto é, coeficientes variáveis.
  • A incógnita y e suas derivadas aparecem só em combinação linear (não há termos como y^2, y y', \sin y, etc.). Logo a equação é linear.
  • Como o termo do lado direito g(t)=\sin t é diferente de zero, a equação é não homogênea. Se tivéssemos g(t)\equiv 0 seria homogênea.

Passo 6

Resumo técnico e dica rápida para prova. Conclusões:
  • É uma EDO porque há derivadas só em relação a \;t.
  • É de ordem 2 porque a maior derivada presente é \;y''.
  • É linear porque y,y',y'' aparecem de forma linear; é não homogênea porque o lado direito é \sin t\neq 0; tem coeficientes variáveis porque os coeficientes dependem de t (por exemplo t^2 e t).
    Dica prática para a prova: procuro primeiro a maior derivada (ordem), verifico se há derivadas parciais (se sim, é EDP; se não, EDO), e examino se y aparece em produtos ou potências para decidir linearidade; por fim, vejo se o lado direito é zero para decidir homogeneidade. Você consegue!

Resposta

Simplicidade: EDO (equação diferencial ordinária).
Ordem: segunda ordem.
Linearidade: linear, não homogênea, com coeficientes variáveis (coeficientes dependem de t).

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